حل تقریبی مسایل مقدار اولیه و مرزی با استفاده از بهینه‌سازی بر اساس روش هم‌مکانی چندجمله‌ای برنشتاین

روش هم مکانی در حل انواع معادلات دیفرانسیل بسیار متداول است. مشکل اصلی در این روش این است که ماتریس ضرایب با افزایش درجه تقریب بدشرط می شود. این می تواند باعث برخی مشکلات عددی و کاهش در دقت جواب شود. در این مطالعه، سه روش بر اساس ترکیب روش هم مکانی برنشتاین و روش های بهینه سازی برای جواب تقریبی مسایل مقدار اولیه و مرزی شامل معادلات دیفرانسیل خطی با ضرایب متغیر پیشنهاد شده است. در این روش ها، جواب تقریبی مساله با استفاده از جواب یک مساله کم ترین مربعات خطی مقید یا یک مساله برنامه ریزی خطی به دست می آید. برای بررسی کارایی روش ها، مسایل آزمایشی از مرتبه های مختلف در نظر گرفته شده و نتایج به دست آمده با نتایج گزارش شده از روش های دیگر مقایسه می شوند. بررسی ها نشان می دهند که روش های پیشنهاد شده دقیق، کارا و دارای پایداری عددی خوبی هستند.

Approximate Solution of Initial and Boundary Value Problems Using Optimization Based on Bernstein Polynomial Collocation Method

The collocation method is very common in solving different types of differential equations. A main difficulty of this method is that its coefficient matrix becomes illconditioned when the degree of approximation increases. This can cause numerical troublesome and decreases the accuracy of the solution. In this study, three methods are proposed based on the combination of Bernstein collocation and optimization methods for approximate solutions of initial and boundary value problems involving linear differential equations with variable coefficients. In these methods, the approximate solution of the problem is obtained using the solution of a constrained linear least squares problem or a linear programming problem. To investigate the effectiveness of the methods, experimental problems of the different orders are considered and the results are compared with the results reported from other methods. Studies show that the proposed methods are accurate, efficient and have good numerical stability.