برخی مشتق ها روی eq-جبرها

در این مقاله، ابتدا مفهوم مشتق های (⊗,) که ∈{~,→} ، روی جبرهای 𝐸𝑄 معرفی شده و سپس مشخصه سازی شده اند،به این صورت که تابع 𝑑:𝐸→𝐸 یک مشتق (⊗,~) )مشتق (⊗,→) ( روی جبر 𝐸𝑄 ، 𝐸 با کوچکترین عضو 0 است اگر و تنهااگر برای ه ر 𝑥,𝑦∈𝐸 ، 𝑑(𝑥)=1 و 𝑥~𝑦=1 . درنتیجه 𝑑 یک مشتق ایزوتون ، همریختی و بستار می شود. بعلاوه، مشتقهای (⊗,∧) روی جبرهای 𝐸𝑄 بررسی شده و بعضی نتایج مورد بحث قرار گرفته است. در واقع نشان داده شده است که اگر𝑑:𝐸→𝐸 مشتق (⊗,∧) روی 𝐸 باشد، به طوری که برای هر 𝑑(1)⨂𝑥≤𝑑(𝑥) ،𝑥∈𝐸 ، آنگاه 𝑑 یک مشتق ا یزوتوناست. سپس با مطالعه بر روی مشتق های (⊗,∨) روی مشبکه مرتب جبرهای 𝐸𝑄 ، مشتق نیم دوگان بستار را معرفی کرده و ثابتشده است که برای 𝑎∈𝐸 ، 𝑑𝑎(𝑥)=𝑥⨂𝑎 برای هر 𝑥∈𝐸 ، یک مشتق (⊗,∨) ، نیم دوگان بستار روی 𝐸 است. در پایان، بااثبات ویژگی ا ی از جبرهای 𝐸𝑄 ، شرایطی یافت می شود که تحت آن مجموع هی نقاط ثابت در مشت ق های (⊗,∨) روی مشبکه مرتبجبرهای 𝐸𝑄 ، تشکیل یک مشبکه مرتب جبر 𝐸𝑄 می دهد .

some derivations on eq-algebras

in this paper, first the notion of (⊗,)−𝑑𝑒𝑟𝑖𝑣𝑎𝑡𝑖𝑜𝑛𝑠 on 𝐸𝑄−𝑎𝑙𝑔𝑒𝑏𝑟𝑎𝑠 where ∈{~,→} is introduced and then they are characterized, in this way, the function 𝑑:𝐸→𝐸 on 𝐸𝑄−𝑎𝑙𝑔𝑒𝑏𝑟𝑎 𝐸 with the bottom element 0 is a (⊗,~)((⊗,→))−𝑑𝑒𝑟𝑖𝑣𝑎𝑡𝑖𝑜𝑛 if and only if 𝑑(𝑥)=1 ,𝑥~𝑦=1, for all 𝑥,𝑦∈𝐸. thus 𝑑 is an isotone, homomorphism, and closure derivation. furthermore, (⊗,∧)−𝑑𝑒𝑟𝑖𝑣𝑎𝑡𝑖𝑜𝑛𝑠 on 𝐸𝑄−𝑎𝑙𝑔𝑒𝑏𝑟𝑎𝑠 are investigated and some related results are discussed. indeed it is shown that if 𝑑:𝐸→𝐸 be a (⊗,∧)−𝑑𝑒𝑟𝑖𝑣𝑎𝑡𝑖𝑜𝑛 on an 𝐸𝑄−𝑎𝑙𝑔𝑒𝑏𝑟𝑎 𝐸 such that for all 𝑥∈𝐸, 𝑑(1)⨂𝑥≤𝑑(𝑥), so 𝑑 is an isotone derivation. then by studying on (⊗,∨)−𝑑𝑒𝑟𝑖𝑣𝑎𝑡𝑖𝑜𝑛𝑠 on 𝑙𝑎𝑡𝑡𝑖𝑐𝑒−𝑜𝑟𝑑𝑒𝑟𝑒𝑑 𝐸𝑄−𝑎𝑙𝑔𝑒𝑏𝑟𝑎𝑠, semi-dual closure derivation is introduced and it is proved that for 𝑎∈𝐸, 𝑑𝑎(𝑥)=𝑥⨂𝑎, for all 𝑥∈𝐸, is a semi-dual closure (⊗,∨)−𝑑𝑒𝑟𝑖𝑣𝑎𝑡𝑖𝑜𝑛 on 𝐸. finally, by proving a property of 𝐸𝑄−𝑎𝑙𝑔𝑒𝑏𝑟𝑎𝑠, some conditions are found under which the set of fixed points in (⊗,∨)−𝑑𝑒𝑟𝑖𝑣𝑎𝑡𝑖𝑜𝑛𝑠 on 𝑙𝑎𝑡𝑡𝑖𝑐𝑒−𝑜𝑟𝑑𝑒𝑟𝑒𝑑 𝐸𝑄−𝑎𝑙𝑔𝑒𝑏𝑟𝑎𝑠, also is a 𝑙𝑎𝑡𝑡𝑖𝑐𝑒−𝑜𝑟𝑑𝑒𝑟𝑒𝑑 𝐸𝑄−𝑎𝑙𝑔𝑒𝑏𝑟a.