تحلیل پایداری سیستم‌های تصادفی قطعه قطعه خطی و بررسی آن با معادلات فوکر پلانک تعمیم یافته

در این مقاله به موضوع پایداری سیستم‌های تصادفی قطعه قطعه هموار که زیر مجموعه‌ای از سیستم‌های هیبرید تصادفی هستند، پرداخته می‌شود. در اینجا سیگنال‌های نویز در زیرسیستم‌های به صورت جمعی در نظر گرفته می‌شود که دامنه آن‌ها در نقطه تعادل سیستم صفر نمی‌شود. این نویزها مانع پایداری نمایی تصادفی سیستم‌های هیبرید تصادفی می‌شوند که این نوع پایداری نمایی به صورت گسترده در مقالات مورد بحث قرار گرفته‌ است. همچنین پرش‌های بین زیرسیستم‌ها در این دسته از سیستم‌ها وابسته به متغیرهای پیوسته سیستم بوده که فرآیند بررسی پایداری را پیچیده‌تر می‌کند. قضیه ارایه شده با در نظر گرفتن نویز جمعی و پرش‌های وابسته به متغیرهای حالت، برای سیستم‌های تصادفی قطعه‌قطعه غیرخطی، حد بالایی برای ممان دوم تصادفی یا واریانس متغیرهای حالت سیستم به ارایه می دهد و همچنین تضمین می‌کند که تابع چگالی احتمال پاسخ یک سیستم پایدار به حالت پایا می‌رسد. سپس مساله برای حالت خطی در این دسته از سیستم‌ها بررسی شده، شرایط پایداری با نامساوی ماتریسی خطی ارایه می شود، که در نتیجه آن حد بالایی روی کوواریانس متغیرهای حالت به دست می آید. سپس برای بررسی درستی قضیه پیشنهاد شده، حل معادلات فوکر پلانک که تحول تابع چگالی احتمال سیستم را مشخص می‌کند مورد مطالعه قرار می گیرد. برای مشکل ناشی از پرش‌های تصادفی در شرایط مرزی این دسته از سیستم‌ها، راه حل مناسب و ابتکاری ارایه شده است، و با روش حجم محدود معادلات با مشتقات پاره‌ای مذکور در یک مثال حل شده‌ تا صحت نتایج قضیه به صورت عددی بررسی شوند.