بررسی موازی‌سازی حلگرهای تکراری دستگاه معادلات خطی حاصل از معادله پواسون

در مقاله حاضر یک بررسی بر موازی‌سازی چند حلگر تکراری دستگاه معادلات خطی حاصل از گسسته‌سازی معادله پواسون به روش تفاضل محدود انجام می‌شود. به طور خاص روش‌های تکراری فوق تخفیف گاوس سایدل نقطه‌ای و خطی و همچنین روش‌های گرادیان مزدوج و گرادیان دومزدوج پایدار شده بررسی می‌گردد. برای روش‌های فوق تخفیف از ضریب فوق تخفیف بهینه استفاده می‌شود. موازی‌سازی ابتدا برای یک پردازنده مرکزی چند هسته‌ای با زبان برنامه‌نویسی سی‌پلاس‌پلاس و کتابخانه اُپن اِم پی و سپس برای یک پردازنده گرافیکی با زبان برنامه‌نویسی کودا صورت می‌گیرد. نتایج حاصل از حل معادله دو بُعدی و همچنین معادله سه بُعدی نشان می‌دهد روش‌های گرادیان مزدوج در بیشتر موارد به علت تعداد تکرار کمتر زمان اجرای کمتری دارند. بررسی زمان اجرای روش‌های مختلف نشان می‌دهد در یک پردازش 8 هسته‌ای نسبت به حالت تک هسته‌ای، افزایش سرعتی تا حدود 10 و 5 برابر به ترتیب در حل معادلات دو بُعدی و سه بُعدی حاصل می‌گردد. علاوه بر آن، استفاده از پردازنده گرافیکی نسبت به حالت 8 هسته‌ای موجب افزایش سرعت بین 5 تا 10 برابر می‌شود.

investigation of iterative solvers parallelization for systems of linear equations resulting from the poisson equation

in the present article, a survey is carried out on the parallelization of several iterative solvers of the system of linear equations resulting from the discretization of the poisson equation using the finite difference method. in particular, the point and line gauss-seidel successive over-relaxation methods, as well as the conjugate gradient and stabilized biconjugate gradient methods are investigated. for the over-relaxation methods, the optimum over-relaxation coefficient is used. the parallelization is first carried out on a multi-core central processor using c++ programming language and the openmp library, and then for a graphics processing unit using cuda programming language. the results show, for both the two-dimensional and three-dimensional equations, the conjugate gradient methods due to a smaller number of iterations, have less computation time. comparing the execution time of the different methods shows that for an 8-core processing, speedups of about 10 and 5 are achieved for the two- and three-dimensional equations, respectively. furthermore, using a graphics processing unit leads to speedups between 5 and 10 in comparison to the 8-core processing.