بررسی پایداری طرح تفاضلات متناهی غیراستاندارد برای حل معادلات دیفرانسیل با مشتقات نسبی خطی از مرتبه کسری

عمل گرهای مشتق و انتگرال کسری مفهوم جدیدی از مشتق و انتگرال از مرتبۀ دل خواه است. معادلۀ دیفرانسیل با مشتقات نسبی ([1]pde) که مشتقات موجود در آن بتوانند از مرتبه کسری باشند معادلۀ دیفرانسیل با مشتقات نسبی کسری ([2]fpde) گفته می شود. امروزه این معادلات به دلیل کاربرد زیاد توجه ویژه ای را به خود معطوف داشته اند. در این مقاله حالت نسبتاً کلی از یک fpde مطرح می شود، برای به دست آوردن طرحی عددی، مشتقات کسری موجود در معادله با استفاده یکی از تعاریف متداول گرانوالد لتنیکوف[3]، ریمان لیوویل[4] و کاپتو[5] جای گزین می شوند و برای بهبود جواب عددی، مشتقات نسبی موجود در معادله با استفاده از طرح های تفاضلی غیراستاندارد ([nsfd[6) گسسته سازی می شوند. سپس پایداری طرح عددی حاصل بررسی می گردد و ثابت می شود روش معرفی شده غیرمشروط پایدار است. در پایان با هدف تایید نتایج تئوری، تکنیک معرفی شده برای حل معادله موج با مرتبۀ کسری که در فیزیک و شاخه های آن کاربرد فراوانی دارد به کار می رود. نتایج عددی موید یافته های تئوری است و نشان از کارایی این تکنیک دارد.

The Stability of Non-standard Finite Difference Scheme for Solution of Partial Differential Equations of Fractional Order

Fractional derivatives and integrals are new concepts of derivatives and integrals of arbitrary order. Partial differential equations whose derivatives can be of fractional order are called fractional partial differential equations (FPDEs). Recently, these equations have received special attention due to their high practical applications. In this paper, we survey a rather general case of FPDE to obtain a numerical scheme. The fractional derivatives in the equation are replaced by common definitions such as GrundwaldLetnikov, RiemannLiouville and Caputo. To improve the numerical solution, partial derivatives inside the equation are discrete using nonstandard finite difference scheme. Then, we survey the stability of numerical scheme and prove that the proposed method is unconditionally stable. Eventually, in order to approve the theoretical results, we use the presented technique to solve wave equation with fractionalorder, which is very practical and widely used in physics and its branches. Numerical results confirm the findings of the theory and show that this technique is effective.