بررسی آماری دو فرایند انتشار روی چنبره و کاربرد آن‌ها

محققان در زمینه های مختلف علوم از جمله علوم زیستی، به فرایندهای انتشار مثل حرکت براونی و فرایند اورنشتاین-اولن بک که کلاسی از فرایندهای تصادفی هستند توجه ویژه دارند. در بررسی چنین فرایندهایی معمولاً فرض می شود مشاهدات حاصل از آن ها در فضاهای اقلیدسی قرار دارند. اما در بعضی از پدیده های فیزیکی، شیمیایی و زیستی داده هایی یافت می شوند که به دلایلی مثل تناوبی بودن مقادیری از فضاهای اقلیدسی به حساب نمی آیند. در نتیجه آن ها با مدل بندی های معمول ریاضی که برای فضاهای اقلیدسی وجود دارند بررسی نمی شوند. علاوه بر این، از نقطه نظر آمار، بررسی و تحلیل آن ها با استفاده از روش های مرسوم آمار خطی ممکن نیست. زاویه های دوسطحی که برای شناسایی، مدل بندی و پیش بینی ساختار اصلی پروتئین ها استفاده می شوند مثالی از این دست داده هاست. چون این زوایا مقادیری را روی چنبره نمایش می دهند، در نتیجه انتظار می رود مدل بندی مناسب آماری فرایندهای انتشار روی چنبره بتواند کمک شایانی به فعالیت های معطوف به شبیه سازی پویای مولکولی در پیش بینی ساختار اصلی پروتئین ها کند. در این مقاله، با استفاده از فاصله های ریمانی روی چنبره، معادلات دیفرانسیل تصادفی برای نمایش حرکت براونی و فرایند اورنشتاین-اولن بک روی این شکل هندسی به دست آورده می شود. سپس با محاسبۀ توزیع مانای فرایندهای بررسی شده و ارزیابی تعدادی از توزیع های غیراقلیدسی موجود، ارتباط نتایج حاصل با مفاهیم موجود در آمار غیرخطی برجسته خواهد شد.

A Statistical Study of two Diffusion Processes on Torus and Their Applications

Diffusion Processes such as Brownian motions and OrnsteinUhlenbeck processes are the classes of stochastic processes that have been investigated by researchers in various disciplines including biological sciences. It is usually assumed that the outcomes of these processes are laid on the Euclidean spaces. However, some data in physical, chemical and biological phenomena indicate that they cannot be considered as the observations in Euclidean spaces due to the various features such as the periodicity of the data. Hence, we cannot analyze them using the common mathematical methods available in Euclidean spaces. In addition, studying and analyzing them using common linear statistics are not possible. One of these typical data is the dihedral angles that are utilized in identifying, modeling and predicting the proteins backbones. Because these angles are representatives of points on the surface of torus, it seems that proper statistical modeling of diffusion processes on the torus could be of a great help for the research activities on dynamic molecular simulations in predicting the proteins backbones. In this article, using the Riemannian distance on the torus, the stochastic differential equations to describe the Brownian motions and OrnsteinUhlenbeck processes on this geometrical object were derived. Then, in order to evaluate the proposed models, the statistical simulations were performed using the equilibrium distributions of aforementioned stochastic processes. Moreover, the link between the gained results with the available concepts in the nonlinear statistics were highlighted.