نتیجه‌ای درباره قطر جبرهای باناخ عملگری انقباض‌ پذیر

به یک جبر باناخ a انقباض‌پذیر گفته می‌شود هرگاه  به ازای  هر a-دومدول باناخ e، هر اشتقاق  پیوسته از a به e درونی باشد.  مفهوم انقباض‌پذیری در مبحث کوهمولوژی و میانگین‌پذیری جبرهای باناخ ظاهر می‌گردد. تنها جبرهای  باناخ  انقباض‌پذیری که تا کنون شناخته شده اند، از بعد متناهی هستند. درواقع،  یکی از قدیمی‌ترین حدس‌ها در این مبحث، عدم وجود جبرهای باناخ  انقباض‌پذیر با بعد نامتناهی است. حالت خاص این حدس، که آن نیز  هنوز  بی‌پاسخ  است، می‌‌گوید که برای یک فضای باناخ x اگر b(x)، جبر باناخ همه عملگرهای خطی و پیوسته  روی x،  انقباض‌پذیر باشد آنگاه x از بعد متناهی است.  براساس نتیجه ای شناخته شده،  یک جبر باناخ a  انقباض‌پذیر است اگر و  فقط اگر  عنصر ویژه‌ای به‌نام  قطر در a⊗π a، حاصلضرب تانسوری تصویری a با خودش، موجود باشد.  در این یادداشت کوتاه، نشان می‌دهیم که اگر x از  بعد نامتناهی باشد و b(x)  انقباض‌پذیر  باشد، آنگاه تصویر هر قطر b(x)،  تحت نگاشت کانونی، در b(x⊗π x) برابر با عملگر صفر است. برای اثبات از برآورد معروف کدک-اسنوبار درباره نرم عملگرهای تصویرگر روی زیرفضاهای با بعد متناهی، استفاده می‌کنیم. امیدواریم که دانستن چنین ویژگی قطر  و روشی که در این یادداشت ارائه می‌کنیم، در آینده منجر به حل شدن حدس متناهی بعد بودن x شود. 

a result on the diagonal of contractible operator banach algebras

a banach algebra a is called contractible if for any banach a-bimodule e, every continuous derivation from a into e is inner. one of the oldest unconfirmed conjectures in amenability  says that every contractible banach algebra is finite dimensional. it is well-known that a banach algebra a is contractible if and only if its unital and has a diagonal, that is a member m in the banach algebra a⊗πa such that satisfies in ∆(m)=1 and a⊗1m=m(1⊗a) for every a in a. in this note we show that any diagonal of a contractible banach algebra of operators on an infinite dimensional banach space has a specific null property.