حل عددی مسائل کنترل بهینه کسری با استفاده از عملگرهای کسری توابع ترکیبی گنوچی

در این مقاله، کاربرد توابع ترکیبی گنوچی در حل رده ای از مسائل کنترل بهینه کسری با حالت های مختلف مرتبه مشتق کسری شامل شرایط اولیه یا مرزی متغیر وضعیت ارائه شده است. بدین منظور، در ابتدا اهمیت حسابان کسری، تعاریف و خواص مورد نیاز بیان می شود. سپس، توابع ترکیبی شامل ترکیب چندجمله‌ای‌های گنوچی با توابع پایه‌ای بلاک پالس معرفی می گردد. با استفاده از خواص این توابع و بدون تقریب زدن، دو عملگر کسری توابع ترکیبی گنوچی شامل عملگر انتگرال کسری چپ ریمان-لیوویل و عملگر مشتق کسری چپ کاپوتو به صورت مستقیم محاسبه شده است. در ادامه، روش‌های حل مساله کنترل بهینه کسری اختیار شده در قالب روش‌های مستقیم بیان می‌شود. در این روش‌ها با محاسبه متغیر کنترل برحسب متغیر وضعیت، تقریب متغیر وضعیت بر اساس توابع ترکیبی گنوچی، استفاده از عملگر انتگرال کسری ریمان-لیوویل محاسبه شده و تقریب شاخص عملکرد با استفاده از فرمول لژاندر-گاووس، مساله کنترل بهینه کسری به یک دستگاه معادلات ‌جبری تبدیل می‌گردد. از حل دستگاه حاصل، ضرایب مجهول متغیر وضعیت و در نتیجه متغیر کنترل به دست می آیند. علاوه بر این، برای حل مسائل شامل نقطه‌ی مرزی نهایی ثابت، عملگر مشتق کسری کاپوتو و ضرب‌کننده‌های لاگرانژ به کار می روند. کران خطاهای تقریب تابع و عملگرهای کسری، محاسبه شده و آنالیز همگرایی ارائه می شود. در پایان، کارایی و موثر بودن روش‌های پیشنهادی با حل چند مثال عددی بیان و نتایج حاصله با نتایج گزارش شده در مقالات مرتبط مقایسه شده است.

numerical solution of the fractional optimal control problems by using genocchi hybrid functions fractional operators

in this paper, direct numerical methods for solving a class of the fractional optimal control problems (focp) with different fractional derivative order and boundary conditions based on genocchi hybrid functions are presented. for this purpose, first the importance of fractional calculus, definitions and required properties are provided. then the hybrid functions including the combination of genocchi polynomials with the block pulse basic functions, the advantages and properties of these polynomials are expressed. a required property has been proven. by using the new methods, the two fractional operators including the left caputo fractional derivative and left riemann-liouville fractional integral of the genocchi hybrid functions, are calculated directly and without approximation. subsequently, some of the methods for solving fractional optimal control problems are presented in the form of classification of the direct methods. in the proposed direct methods, the fractional optimal control problem becomes a system of algebraic equations by discretizing state and control variables based on genocchi hybrid functions with using fractional operators, legendre-gaussian formula for integral approximation and lagrange multipliers. from the solution of the resulting system, the unknown coefficients of the state and control variables are obtained. we extend these methods with the ideas for the focp, including the final point. then, the error bound of the function approximation are determined. also, the convergence analysis of hybrid functions is investigated in the direct methods. at last, the efficiency and effectiveness of the proposed methods and comparison of the obtained results with those reported in the previous studies are discussed in the final section by solving some test problems.