تابع‌گون های توسیع مدول‌های کوهمولوژی موضعی تعمیم‌یافته و‌ زیررسته‌های‌ سِر

فرض کنید (𝑅,𝔪 ) یک حلقه موضعی، نوتری و کامل و 𝐼 یک ایده آل سره از 𝑅 باشد. فرض کنیم 𝑋 و 𝑁 ،𝑀 سه -𝑅 مدول متناهی مولد باشند به طوری که x) supp ) ⊆ 𝑉(i) فرض کنید 𝑡 ≥0 یک عدد صحیح باشد به طوری که برای هر -𝑅 ،0 ≤ 𝑖 ≤ 𝑡 مدول 𝑀,𝑁) h𝐼 ) در بعد < 𝑛 است. در این صورت نشان میدهیم هر عضو 𝐿 از مجموعۀ 𝔍 = {ext𝑅 𝑗 (𝑋, h𝐼 𝑖(𝑀,𝑁)) ∶ 𝑗 ≥ 0 و 0 ≤ 𝑖 ≤ 𝑡} ∪ {ext𝑅 𝑖 (𝑋, h𝐼 𝑡+1(𝑀, 𝑁)) ∶ 𝑖 = 0,1} در بعد < 𝑛 −2 است و به عنوان یک نتیجه از آن ثابت میکنیم مجموعۀ assr(𝐿) ∩ {𝔭ϵspec(r) ∶ dim 𝑅/𝔭 ≥ n − 2} متناهی است. به ویژه مجموعۀ assr (⨁𝑖=0 𝑡+1 h𝐼 𝑖 (𝑀, 𝑁)) ∩ {𝔭 ∈ spec (r) ∶ dim 𝑅/𝔭 ≥ n − 2} متناهی است. همچنین ثابت می کنیم -𝑅 مدول ) ext𝑅^𝑗 برای اعداد صحیح 𝑖, 𝑗 ≥0 در بعد < 𝑛 −1 است منوط بر این که dim(𝑁/𝐼𝑁) = 𝑛 این موارد تعمیم نتایج اصلی هونیکه-کوه در مرجع بیست، دلفینو در مرجع دوازده، چیریاکسکو در مرجع یازده، اسدالهی- نقی پور در مرجع سه، کوی در مرجع بیست و یک، برادمن- لشگری درمرجع نه، بهمن پور- نقی پور در مرجع هفت و بهمن پور و همکاران در مرجع هشت، روی حلقه های موضعی و کامل است.

extension functors of generalized local cohomology modules and serre subcategories

let 𝑅 be a commutative noetherian ring (with identity) and 𝐼 be an ideal of 𝑅. thelocal cohomology modules h𝐼𝑖 (𝑀), 𝑖 = 0, 1, 2, …, of an 𝑅-module 𝑀 with respect to𝐼, with support in 𝑉(𝐼), were introduced by a. grotendieck in [14, 15]. the localcohomology module h𝐼𝑖 (𝑀) is defined as:h𝐼 𝑖(𝑀) = lim𝑛≥1→ext𝑅 𝑖(𝑅⁄𝐼𝑛 ,𝑀).also, for each pair of 𝑅-modules 𝑀 and 𝑁, the generalized local cohomologymodulesh𝐼 𝑖(𝑀, 𝑁) ≅ lim𝑛≥1→ext𝑅 𝑖(𝑀⁄𝐼𝑛𝑀,𝑁),were introduced by herzog in [17]. clearly, this notation is a generalization of theordinary local cohomology module.hartshorn defined an 𝑅-module 𝑀 to be 𝐼-cofinite if supp(𝑀) ⊆ 𝑉(𝐼) andext𝑅 𝑖(𝑅⁄𝐼 ,𝑀) is finitely generated for all 𝑖 and asked:for which rings 𝑅 and ideals 𝐼 are the modules h𝐼 𝑖(𝑀) 𝐼-cofinite for all 𝑖 and allfinitely generated modules 𝑀?in [8], k. bahmanpour et al., introduced the new notation of the 𝑛-th finitenessdimension 𝑓𝐼𝑛 (𝑀), for all 𝑛 𝜖 ℕ0. more precisely, they used the following notation:𝑓𝐼𝑛 (𝑀) ≔ inf {𝑓𝐼𝑅𝔭 (𝑀𝔭) ∶ 𝔭 𝜖 supp(𝑀/𝐼𝑀) and dim(𝑅/𝔭) ≥ 𝑛},where, for each ideal 𝐽 of 𝑅 and each finitely generated 𝑅-module 𝑁, thefiniteness dimension 𝑓𝐽 (𝑁) of 𝑁 relative to 𝐽 is defined as:𝑓𝐽 (𝑁) ≔ inf {𝑖 𝜖 ℕ0 ∶ h𝐽 𝑖(𝑁) is not finitely generated}in [3], asadollahi and naghipour introduced the notation of the 𝑅-modules indimension < 𝑛, for all 𝑛 𝜖 ℕ0. more precisely, by them definition, an 𝑅-module 𝑀is said to be in dimension < 𝑛 if and only if dim(𝑀/𝑁) < 𝑛 for some finitelygenerated submodule 𝑁 of 𝑀. moreover, they showed that if 𝑅 is a complete localring then for any finitely generated 𝑅-module 𝑀 there is another description of𝑓𝐼𝑛 (𝑀) as follows:𝑓𝐼𝑛 (𝑀) ≔ inf {0 ≤ 𝑖 ∈ ℤ ∶ h𝐼 𝑖(𝑀) is not in dimension < n}.in [18], hoang generalized their result to generalized local cohomology asfollows:𝑓𝐼𝑛 (𝑀, 𝑁) ≔ inf {0 ≤ 𝑖 ∈ ℤ ∶ h𝐼 𝑖(𝑀, 𝑁) is not in dimension < n}.where 𝑁 is another finitely generated 𝑅-module. also, he proved that if 𝐼𝑀 =ann𝑅 (𝑀/𝐼𝑀) then 𝑓𝐼𝑛 (𝑀, 𝑁) is defined as:𝑓𝐼𝑛 (𝑀, 𝑁) ≔ inf {𝑓𝐼𝑅𝔭 (𝑀𝔭, 𝑁𝔭) ∶ 𝔭 𝜖 supp(𝑁/𝐼𝑀𝑁) and dim(𝑅/𝔭) ≥ 𝑛},where, for each ideal 𝐽 of 𝑅 and each pair of finitely generated 𝑅-modules 𝑀, 𝑁,the finiteness dimension 𝑓𝐽 (𝑀, 𝑁) of 𝑀, 𝑁 relative to 𝐽 is defined as:𝑓𝐽 (𝑀, 𝑁) ≔ inf {𝑖 𝜖 ℕ0 ∶ h𝐽 𝑖(𝑀, 𝑁) is not finitely generated}.also in [1], abazari and the present author proved that, if (𝑅, 𝔪) is a completelocal ring, then for all 𝑖 < 𝑓𝐼𝑛 (𝑀) and all 𝑗 ≥ 0, the 𝑅-modules ext𝑅𝑗 (𝑅/𝐼, h𝐼𝑖 (𝑀, 𝑁)) are in dimension < 𝑛 − 2.throughout this paper, 𝑅 will always be a commutative noetherian ring with nonzeroidentity and 𝐼 will be an ideal of 𝑅. for each 𝑅-module 𝐿, we denote by .