کران بالایی برای مرتبه‌ یک خانواده‌ ضرب‌دری t - تقریباً اشتراکی

فرض کنید 𝒜 خانواده‌ای از زیرمجموعه‌های k عضوی از یک مجموعه n عضوی x باشد. به 𝒜 اشتراکی گویند هرگاه برای هر دو عضو a و b متعلق به 𝒜 داشته باشیم  . 𝐴 ∩ 𝐵 ≠ ∅ قضیه‌ی معروف اردوش-کو-رادو بیان می‌کند اندازه‌ی یک خانواده اشتراکی از زیرمجموعه‌های k عضوی از یک مجموعه n عضوی حداکثر ( 𝑛 − 1 𝑘 − 1 )  است و تساوی زمانی برقرار است اگر و تنها اگر 𝑛 > 2𝑘 عضوی مانند  𝑖 ∈ 𝑋 وجود داشته باشد که برای هر عضو در 𝒜 مانند a داشته باشیم .𝑖 ∈ 𝐴 فرض کنید k و ℓ دو عدد صحیح مثبت باشند که 𝑛 ≥ 𝑚𝑎𝑥{ 2𝑘, 2ℓ} فرض کنید 𝒜 خانواده‌ای از زیرمجموعه‌های k عضوی از مجموعه n عضوی x و  خانواده‌ای از زیرمجموعه‌های ℓ عضوی از مجموعه x باشد به دو خانواده 𝒜 و ℬ دو خانواده ضرب‌دری t - تقریباً اشتراکی گویند اگر هر عضو 𝒜 با حداکثر t عضو از خانواده ℬ اشتراک نداشته باشد و همین‌طور هر عضو ℬ با حداکثر t عضو از خانواده  اشتراک نداشته باشد در این مقاله به عنوان تعمیمی از قضیه‌ی اردوش-کو-رادو نشان می‌دهیم اگر 𝒜 و ℬ دو خانواده ضرب‌دری –t تقریباً اشتراکی باشند و n به اندازه کافی بزرگ باشد، آن گاه |𝒜||ℬ| ≤ ( 𝑛 − 1 𝑘 − 1 ) ( 𝑛 − 1 ℓ − 1 ) و تساوی زمانی رخ می دهد اگر و تنها اگر عضوی مانند 𝑖 ∈ 𝑋 وجود داشته باشد که برای هر عضو  𝐴  متعل به 𝒜 و هر عضو 𝐵 متعلق به ℬ داشته باشیم، .𝑖 ∈ 𝐵 و 𝑖 ∈ 𝐴 .

an upper bound for the size of a cross t-almost ntersecting family

introductionlet n and k be two positive integers such that n≥k. let n={1,...,n} be an n-elemen set and let symbol [n]k denote the family of all k-element subsets (or k-sets) of [n]. a family a of k-sets of [n] is said to be intersecting if for every two members a, b in a, we have a∩b≠∅.  for a fixed element i∈[n], if all members of a contain i, then it is clear that a is an intersecting family, which is called star. for each i∈[n], the family si={a:a=k, a⊆n, i∈a} is a maximal star.  the well-known erdős –ko–rado theorem is one of important results in extremal combinatorics. it has many interesting proofs and extensions. the erdős-ko-rado theorem states that every intersecting family of [n]k has cardinality at most n-1k-1 provided that n≥2k; moreover, if n>2k, then  the only intersecting families  of this cardinality are isomorphic to si.  two families a ⊆nk  and b⊆nl are called cross intersecting if for any a∈a and b∈b, we have a∩b≠∅.  strengthening the  erdős–ko–rado theorem, in 1986 pyber  showed an upper bound for |a ||b| as follows.theorem a. let k, ℓ, n be positive integers such that k≥ℓ. assume that a ⊆[n]k and b⊆[n]l are cross intersecting.if  k>ℓ and n≥2k+l-2, then |a||b|≤n-1k-1n-1l-1.if k=ℓ and n≥2k, then |a||b|≤n-1k-12.  in 1989 matsumoto and tokushige slightly improved pyber’s result as follows.theorem b. let k, ℓ, n be positive integers such that n≥2 max⁡{k, ℓ}. assume that a ⊆[n]k and b⊆[n]l are cross intersecting. then |a||b|≤n-1k-1n-1l-1.  we say that a family a is t-almost intersecting if for every set a∈a there are at most t elements of a disjoint from a. in 2012 gerbner, lemons, palmer, patkós, and szécsi proved an interesting generalization of the erdős–ko–rado theorem for t-almost intersecting families. theorem c. let k, n. t be positive integers and a ⊆nk is a t-almost intersecting family.if  n=n(k,t) is sufficiently large, then |a|≤n-1k-1 with equality if and only if  a=si for some i∈[n]if  k≥3, n≥2k+2, and t=1, then |a|≤n-1k-1 with equality if and only if  a=si for some i∈[n]. main results we say two families a ⊆nk  and b⊆nl are cross t-almost intersecting if any  a∈a is disjoint from at most t elements of b and any  b∈b is disjoint from at most t elements of a. as our main result we simultaneously extend the previous results for sufficiently large n.theorem 1. let k, ℓ, n be positive integers such that n=n (k, ℓ ,t) is sufficiently large. assume that a ⊆[n]k and b⊆[n]l are cross t-almost intersecting. then ab≤n-1k-1n-1l-1 with equality if and only if  a=b=si for some  i∈[n].