روش افراز واحد توابع پایه شعاعی مبتنی بر تفاضلات متناهی برای حل معادله دیفرانسیل جزیی تصادفی سهموی

روش توابع پایه ای شعاعی یک روش بدون شبکه برای حل معادلات دیفرانسیل جزیی تصادفی  بوده و به دلیل خاصیت شعاعی، به کارگیری آن در ابعاد بالا با دشواری های کمتری همراه است و دقت طیفی برای انواع معینی از آن ها دست یافتنی است. به علاوه بر روی دامنه های نامنظم به خوبی قابل استفاده است. اما بسیاری از توابع پایه ای شعاعی پرکاربرد دارای محمل سراسری هستند و لذا ماتریس ضرایب در روش های بدون شبکه مبتنی بر این دسته از توابع پایه ای شعاعی چگال خواهد بود، که این امر هزینه محاسباتی و ناپایداری های عددی را افزایش می دهد. این چالش در زمینه حل عددی معادلات دیفرانسیل تصادفی که با شبیه سازی های متعددی سر و کار خواهیم داشت به صورت جدی تر مطرح می باشد. در این مقاله، روش پارتیشن بندی واحد توابع پایه شعاعی مبتنی بر تفاضلات متناهی را برای رفع این چالش ارایه خواهیم کرد و آن را بر روی معادلات دیفراسیل با مشتقات جزیی تصادفی سهموی پیاده سازی خواهیم نمود. با به کارگیری چنین طرحی، یک مسئله بزرگ به تعداد زیادی مسئله کوچک تجزیه می شود. همچنین، خاصیت همگرایی طیفی توابع پایه شعاعی در تقریب های موضعی به سرتاسر روش پارتیشن بندی واحد مبتنی بر توابع پایه شعاعی منتقل می شود. به منظور ارزیابی عملکرد روش با استفاده از 1000 شبیه سازی انجام شده، معیارهای آماری نظیر میانگین، انحراف معیار و کران های بالا و پایین جواب ها  ارایه شده است. نتایج شبیه سازی های عددی نشان می دهد، این روش به طور قابل ملاحظه ای بدوضعی روش سراسری مبتنی بر توابع پایه ای شعاعی را کاهش می دهد.  به علاوه، این روش با تولید دستگاه معادلات تنک به طور قابل توجهی باعث کاهش حجم محاسباتی می گردد. همچنین، روش پیشنهادی را بر روی دامنه های نامنظم به کار خواهیم برد تا مزیت استفاده آسان از توابع پایه شعاعی برای چنین نواحی را نشان دهیم.

a rbf partition of unity collocation method based on a finite difference scheme to solve parabolic stochastic partial differential equations

meshfree methods based on radial basis functions (rbfs) are popular tools for the numerical solution of parabolic stochastic partial differential equations (pspdes). however, the rbf collocation methods in the global view have some disadvantages for the numerical solution of pspdes. condition number in the resulting dense linear systems indicates that the meshless method using global rbfs may be unstable at each realization to solve pspdes. in order to avoid numerical instabilities in the global view, we are interested in the use of rbf methods in the local view for the numerical solution of pspdes. in this paper, the rbf partition of unity collocation method based on a finite difference scheme for the gaussian random field (rbf pu fd) as a localized rbf approximation presented to deal with these issues. for this purpose, we simulate the gaussian field with a spatial covariance structure at a finite collection of collocation points. the matrices formed during the rbf pu fd method will be sparse and, hence, will not suffer from ill conditioning and high computational cost. for the test problems, we perform 1000 realizations and statistical criterions such as mean, standard deviation, lower bound and upper bound of prediction are evaluated using the monte carlo method../files/site1/files/%d8%a7%d8%b3%d9%85%d8%a7%d8%b9%db%8c%d9%84_%d8%a8%db%8c%da%af%db%8c_ %da%86%da%a9%db%8c%d8%af%d9%87_%d8%a7%d9%86%da%af%d9%84%db%8c%d8%b3%db%8c(2).pdf