رنگ پذیری در توپولوژی

در این مطالعه هدف بیان نحوه رنگ آمیزی سطوح توپولوژِکی به صورتی که رنگ ها دارای مرز اما بدون فاصله و با کمترین عدد رنگی است. اینکه یک سطح را می توان با حداقل چه تعداد رنگ رنگ آمیزی کرد به صورتیکه شرایط ایجاد تعریف یک نوع نگاشت با شرط بدون نقطه ثابت بودن را همراه داشته باشد. این نگاشت را نگاشت رنگی نامیده و در شرایط مختلف  فضا مانند فشردگی یا پارافشردگی، نرمال یا متریک بودن و پیوستگی و... مورد بررسی و تحلیل قرار می گیرد و متناسب با نوع هر فضا خواص مربوط به نگاشت ها را تغییر داده تا نتیجه مورد نظر حاصل شود. در ادامه با اثبات قضایا و لم های متعدد، عدد رنگی منسوب به هر یک از نگاشت ها با شرایط مختص به آن را بدست آورده می شود. اثبات می شود که  به جز یک استنثنا که در متن به آن اشاره شده است این عدد از حداقل 3  البته و بسته به  شرایط خاص هر فضا تا حداکثر n+3 افزایش می یابد. که n می تواند بسته به شرایط متناهی هم باشد.

coloring in the topology

introductionthe aim of this study, is painting of topological surfaces with the least number of colors without the distance, and the colors have a border. for this purpose, we need a color mapping. in this mapping, we have not any fixed point, and we can colorable the map with least colors. definition: let f∶ x → x be a graph without a fixed point. f is colorable with k colors, if there is c={c_1,…,c_k}, where all c_i do not include {(x, f(x)}. or similarly, for every i=1,…, k, there is the equation c_i ∩ f(c_i )=∅.also, we define some concepts such as compression, metric, or noncompression of space. also, to achieve the desired result of each space, we change the properties of the maps.material and methodsin this work, first, we define the properties and conditions of the color mapping and color number. also, by the study of properties of each space, we choose the best of space. one of the best conditions of this space is the lowest color number and higher efficiency. finally, we proved  that this number is finite, and we can do coloring space with some maps and conversely.results and discussionin this work, we define the properties and conditions of the color mapping and color number. we presented some theorems and lemma in the article and proved them for coloring of any space by coloring map, the coloring number is at least 3 and at most is a n+3. also, we proved the coloring number finite and we can  do coloring space with some maps and conversely.conclusionthe following conclusions were drawn from this research.the coloring number is at least 3.the coloring number is at most n+3.coloring number is finite and we can do coloring space with some maps.we can do the coloring of any space by the finite coloring map.