ضرایب لیاپونوف و کاربرد آن‌ها در فیزیک

نظریۀ صورت بهنجار یکی ازمهم ترین ابزارها برای تجزیه وتحلیل موضعی دستگا‌ه‌های دینامیکی در نزدیکی نقاط تعادل و جواب‌های تناوبی است. ایدۀ اصلی در این نظریه استفاده از قسمت خطی دستگاه است که با اعمال تغییر متغیرهای حالت به ساده کردن دستگاه اولیه کمک می‌کند. دستگاه معادلات دیفرانسیل همگن با فضای حالت دوبعدی را در نظر بگیرید که قسمت خطی آن یک جفت مقدار ویژه موهومی دارد (تکینی هوپف). تا کنون تنها ضرایب لیاپونوف تا مرتبه 2، برای این‌ دستگاه‌های تکین محاسبه شده است. در این مقاله با به‌کارگیری ابزار جبر لی، ضرایب صورت بهنجار (ضرایب لیاپونوف) را برای این دستگاه، تا مرتبه 3 بر حسب مشتقات قسمت غیرخطی محاسبه می‌کنیم. هم‌چنین به‌کمک ابزار‌های نظریه انفراد، شکافت سراسری را برای این‌گونه دستگاه‌ها در حالت کلی محاسبه می‌کنیم. و متناظراً ثابت می‌کنیم که بررسی نقاط تعادل و مدارهای تناوبی حدی یک دستگاه تکین هوپف تعمیم یافته (کانونی ضعیف از مرتبۀ k) با بسط تیلور صورت بهنجار تا درجه به‌صورت کامل مشخص می‌شود و انشعابات متناظر برای دستگاه تکین هوپف و هوپف تعمیم یافته با مرتبۀ کانونی 2 را تحلیل می‌کنیم. در پایان معادلات دستگاه لینار و یک مدار الکتریکی غیرخطی را به‌کمک روابط ریاضی، مدل‌سازی و صورت بهنجار را برای آن‌ها محاسبه می‌کنیم.