نظریۀ گره‌ها، از گذشته تا امروز

در این مقاله، که اولین مقاله از یک سه ‌گانه با موضوع تحولات مهم توپولوژی ابعاد پایین در صد سال گذشته است، به پیشینه و تحولات مهم تاریخی در نظریۀ گره‌ها می‌پردازیم. این پیشینه، شامل تلاش‌های اولیۀ ریاضیدانان برای صورت‌بندی سوالات اصلی به زبان ریاضی، قرار دادن استدلال‌ها و تعاریف در چارچوب‌های دقیق ریاضی و برخی از ابزارهای مهمی است که از حوزه‌های مختلف ریاضی وام گرفته شد، تا نتایج جالب و درخشانی در نظریۀ گره‌ها حاصل گردد. روایت اصلی این مقاله از کارهای تِیت در قرن نوزدهم آغاز می‌شود و گام‌های مهمی که تا پیش از معرفی ناورداهای پیمانه‌ای برداشته شد را مرور می‌کند. بالاخص به تجزیۀ اول گره‌ها و ناورداهای چندجمله‌ای برای گره‌ها توجه ویژه‌ای خواهیم داشت. در پایان این مقاله، تعدادی از حدس‌های مهم نظریۀ‌گره‌ها که صورت‌هایی ساده و ملموس دارند، مطرح شده است و به برخی نتایجی که در سال‌های اخیر در خصوص این حدس‌ها به‌دست آمده است؛ از جمله برخی مواردی که نویسنده در آنها مشارکت داشته است؛ هم اشاره خواهیم کرد.

knot theory, from past to present

in this paper, which is the first paper from a trio on important developments of low dimensional topology in the past 100 years, we review the history and major developments in knot theory. this historic account includes the initial attempts at formulating some of the main questions about knots in a mathematical language, putting the definitions and arguments in a rigorous mathematical framework, and employing tools from other fields of mathematics to extract interesting and intriguing results in knot theory. the study starts from tait’s work in nineteenth century and reviews the important steps taken before the introduction of gauge theory. in particular, we will review the prime decomposition of knots and various polynomial invariants constructed for knots and links. we finish the paper by discussing some of the important conjectures in knot theory which have surprisingly simple statement. we also review some of the recent developments around the aforementioned conjecture, including some theorems including contributions from the author.