برخی از ساختارهای اعداد کاتالان i

یکی از مهم‌ترین دلایل شهرت اعداد کاتالان، ظاهر شدن آن‌ها در بسیاری از مسائل شمارشی می‌باشد. با مطالعه منابعی که از اعداد کاتالان وجود دارد، مانند کتاب‌‌ها و صفحه ویکی‌پدیا، متوجه می‌شویم در ترکیبیات؛ دنباله این اعداد در بسیاری از مسائل شمارشی مانند مثلث‌بندی کردن یک چند ضلعی، پرانتزگذاری بین‌ n متغییر، شمارش قله‌ها، مسیرهای مشبکه، دنباله‌های پرهیز و درخت‌های دودویی، به‌صورت بازگشتی ظاهر می‌گردد. این اعداد برای نخستین بار توسط ریاضیدان بلغاری اُوجِن چارلز کاتالان کشف شد و بعدها به این نام مشهور گردید. البته، تاریخ ریاضیات نشان می‌دهد که این اعداد خیلی قبل‌تر از کاتالان مورد بررسی قرار گرفته‌اند. این اعداد به شکل‌ها و صورت‌های متفاوتی ظاهر می‌گردند، اما کاربرد زیاد این اعداد در شاخه‌های مختلف ریاضی باعث شده حتی تصور اینکه اعداد کاتالان روزگاری ناشناخته و تعریف نشده بوده است، سخت باشد. در این مقاله، ابتدا ضریب دوجمله‌ای مرکزی را معرفی می‌کنیم و سپس به مطالعه بعضی از ساختار‌های مشهور اعداد کاتالان مانند مسیرهای دیک، درخت‌های دودویی، جایگشت‌ها و افراز‌ها، می‌پردازیم. ما همچنین بعضی از ساختار‌های جبری و دیگر اعداد کاتالان را نیز بررسی می‌کنیم.

some structures of the catalan numbers i

the catalan numbers are ubiquitous in counting problems, which is one of the primaryreasons for its popularity. from various sources like books and wikipedia, we see that in combinatorialmathematics. the catalan numbers form a sequence of natural numbers that occur in various countingproblems, often involving recursively-defined objects such as polygon triangulation, balanced parentheses,mountain ranges, diagonal avoiding paths and binary tree. belgian mathematician eugene charlescatalan discovered these numbers in 1838, while studying well-formed sequences of parentheses. theyare named after the belgian mathematician eugene charles catalan. although they are named aftercatalan, they were not first discovered by him. these numbers appear in a variety of disguises, we areso used to having them around, it is perhaps hard to imagine a time when they were either unknown, orknown but obscure and underappreciated. the organization of this paper is as follows. we first encounterwith a number of occurrences of the cbc and the catalan numbers. then, we study to understand theconnections between these numbers and well-known structures of catalan numbers like dyck paths, binarytrees, permutations, partitions and etc. we also discuss some algebraic interpretations and additionalaspects of the catalan numbers.