مجموع ه‌های تفکیک‌ کننده راس ‌ها در گراف‌ ها با کوچکترین اندازه

فرض کنیم g یک گراف ساده همبند با مجموعه راس‌های v(g) و مجموعه یال‌های e(g) باشد. زیرمجموعه s={s_1, s_2,ldots,s_l } از راس‌های گراف g یک مجموعه تفکیک‌کننده دوگانه برای گراف g نامیده می‌شود، هرگاه برای هر دو راس متمایز u و v از گراف g، عضوهای x و y از s موجود باشند که .dleft(u, xright)-dleft(u, yright)neq dleft(v, xright)mathrm{-}dleft(v, yright) اندازه کوچک‌ترین مجموعه تفکیک‌کننده دوگانه در گراف g را با {psi} (g) نشان می‌دهند. در این مقاله، ضمن آشنایی با مفهوم و خواص {psi} (g), برخی مجموعه‌های تفکیک‌کننده راس‌ها با کوچکترین اندازه را برای گراف یالی l(c_ncirc{overline{k}}_m) و گراف (c_ncirc{overline{k}}_m)square p_k محاسبه می‌کنیم، که در آن نمادهای circ و square به‌ترتیب حاصل‌ضرب کرونا و حاصل‌ضرب دکارتی بین دو گراف را مشخص می‌کنند. به‌ویژه، در پاسخ به مساله مشخص نمودن گراف‌های g و h، که برای آن‌ها تساوی {psi}(gsquare h)={psi}(g)+{psi}(h)-1 برقرار است cite{15}، ما نشان می‌دهیم که اگر nge 3 و m,kge 2 عددهای صحیح باشند، آن‌گاه {psi} left((c_ncirc{overline{k}}_m)square p_kright) برابر است با .{psi} left(c_ncirc{overline{k}}_m)+{psi} (p_kright)-1

resolving sets of vertices with the minimum size in graphs

suppose that g is a simple connected graph with vertex set v (g) and edge set e(g). asubset s = {s1, s2, . . . , sl} of vertices of graph g is called a doubly resolving set of g, if for any distinctvertices u and v in g there are elements x and y in the set s such that d(u, x)−d(u, y) ̸= d(v, x)−d(v, y).the minimum size of a doubly resolving set of the vertices of graph g is denoted by ψ(g). in thispaper, we calculate the resolving sets of vertices with the minimum size for the line graph l(cn ◦ km)and graph􀀀(cn ◦ km)□pk
, in which the symbols ◦ and □ denote the corona product and cartesianproduct between two graphs, respectively. in particular, we show that if n ≥ 3 and m, k ≥ 2 are integers,then ψ((cn ◦ km)□pk) = ψ(cn ◦ km) + ψ(pk) − 1, which gives a partial answer to the problem ofcharacterizing graphs g and h satisfying the equality ψ(g□h) = ψ(g) + ψ(h) − 1, which is recentlyposed in [k. nie and k. xu, the doubly metric dimension of cylinder graphs and torus graphs, bull.malays. math. sci. soc., 46 (2023) 19 pp].