بسط مجانبی یک دنباله مرتبط با عدد نپر و کاربرد آن در شمارش تحلیلی تعداد مسیرها در گراف کامل

در این مقاله تعداد مسیرهای بین دو راس دلخواه و ثابت در گراف کامل k_{n+2} را بررسی می‌کنیم. نخست نشان می‌دهیم تعداد این مسیرها برابر است با w_{n+2}=e_n n! که در آن e_n=sum_{j=0}^n 1/j!مجموع جزئی سری معرّف عدد e است. سپس با بدست آوردن یک نمایش انتگرالی برای e_n، شبیه انتگرال تابع گاما، بسط مجانبی زیر را برای w_{n+2} به‌دست می‌آوریم[w_{n+2}=en!sum_{k=1}^rfrac{c_k}{n^k}+oleft(frac{1}{n^{r+1}}right),]که در آن r⩾1 عددی صحیح و دلخواه است و ضرایب c_k قابِل محاسبه و مشخص هستند. ضمناً نشان می‌دهیم که ضریب نماد o در این بسط حداکثر برابر e^2b_{r+1} است، که در آن b_{r+1} عدد بل از مرتبۀ r+1 است.