خواص مشترک برخی زیرحلقه های $mathbb{r}^x$

رای فضای توپولوژی ناتهی $x$، محموعه تمام توابع حقیقیمقدار روی $x$ با نماد $f(x)$ نشان داده می‌شود که با عمل جمع و ضرب نقطه به نقطه، حلقه‌ای تعویض‌پذیر است. اعضای پیوسته $f(x)$ را با $c(x)$ نشان می‌دهیم. $b_1(x)$ مجموعه تمام حدود نقطه به نقطه دنباله‌ توابع در $c(x)$ را نشان می‌دهد که یک زیرحلقه $f(x)$ است. نشان داده شده است که جمع دو $z$ایدآل در $b_1(x)$ یک $z$ایدآل است و ایدآل $i$ در $b_1(x)$ یک $z$ایدآل است اگر و تنها اگر $sqrt{i}$ یک $z$ایدآل در $b_1(x)$ باشد. برای هر $fin f(x)$، $f^{1}(0)$ را با $z(f)$ نشان داده و آن را یک صفرمحموعه می‌گویند. اگر $a(x)$ یک زیرحلقه $f(x)$ باشد، $emptyset neq bsubseteq a(x)$ و $s=bigcup_{bin b}(xsetminus z(b))$، آن‌گاه ثابت شده است که همریختی حلقه $phi:a(x) to a(s)$ وجود دارد به‌طوری که $phi= ann(b)$ lr{ker}. ایدآل $i$ در $a(x)$ را مطلقا محدب گوییم هرگاه از $fin a(x),~gin i$ و $|f|leq |g|$ نتیجه شود $fin i$. برخی زیرحلقه‌های $f(x)$ که هر ایدآل اول آن مطلقا محدب باشد بررسی شده است. ایدآل سره $i$ از $a(x)$ را ایدآلی شبه‌ثابت می‌نامند هرگاه گردآیه ${ cl_xz(f) | fin i }$ دارای اشتراک ناتهی باشد. مشخصه ‌سازی‌ها‌یی از ایدآل‌های شبه‌ثابت در برخی زیرحلقه‌های $f(x)$ داده شده است. نشان داده شده است که اگر $x$ همبند باشد، $i$ ایدآلی آزاد در $c(x)$ باشد و $pin x$، آن‌گاه ایدآل ناصفر $j$ که مشمول در $i$ است وجود دارد به‌طوری که $pin cap z[j]$. زیرحلقه‌ $a(x)$ از $f(x)$ مورد مطالعه قرار گرفته است که هر $fin a(x)$ با شرط $z(f)=emptyset$ دارای وارون ضربی در $a(x)$ باشد. زیرحلقه $a(x)$ از $f(x)$ مورد پژوهش قرار گرفته است که برای هر $gin c(mathbb{r})$ و هر $fin a(x)$ داشته باشیم $gcirc f in a(x)$. یک تابعگون پادوردا از رسته‌ی تمام فضاهای توپولوژی و نگاشت‌های پیوسته بین آنها بتوی رسته‌ی حلقه‌های تعویض‌پذیر یکدار و همریختی‌های حافظ عضو همانی ضربی بین آنها برقرار خواهد شد.