روش افراز واحد چندجمله‌ای؛ ابزاری کارامد در تقریب توابع

در این مقاله، تقریب و درونیابی چندجمله‌ای مبتنی بر افراز واحد را بررسی و از آن به عنوان روشی کارامد برای حلِ عددیِ مسائل چندمتغیره استفاده می‌کنیم. نخست تقریب‌های چندجمله‌ای چندمتغیره مطرح و خواص مقیاس‌پذیری آن‌ها را اثبات و برای به‌دست آوردن کران‌های پایداری و همگرایی از آن‌ها استفاده می‌کنیم. برای ارائه یک الگوریتم پایدار، این تقریب‌ها به صورت موضعی روی زیردامنه‌هایی از دامنه اصلی محاسبه و به کمک توابع افراز واحد به‌هم متصل می‌شوند تا یک تقریب سراسری هموار حاصل شود. در پایان کران خطای تقریب سراسری نیز بر اساس کران‌های خطای تقریب‌های موضعی به‌دست می‌آید. ایده این روش، حل چندین مسئله کوچکِ پایدار به جای حل یک مسئله بزرگ بدوضع است. از لحاظ محاسباتی چنین رویکردی بسیار کارآمد و قابل استفاده در حوزه وسیعی از کاربردهاست. برای نمونه حل عددی معادلات دیفرانسیل را به کمک این تقریب مورد بررسی قرار می‌دهیم. در تقریب با این روش از شبکه‌بندی ناحیه (همانند روش‌های المان متناهی و حجم متناهی) اجتناب و به جای آن کمیّت مجهول بر حسب نقاط پراکنده نوشته می‌شود. از این‌رو این روش را می‌توان یک روش بدون شبکه نیز به حساب آورد.