بررسی برهان‌پذیریِ «نامتناهی بالفعل»

موضوع نامتناهی بالفعل که مسائلی همچون تناهی یا عدم تناهی ابعاد عالم، امکان وجود جزء لایتجزی، امکان وجود نامتناهی شیء، تناهی یا عدم تناهی زمان و حوادث گذشته، و تسلسل در سلسله علل و معالیل را شامل می‌شود، از دیرباز مورد توجه و اختلاف اندیشمندان بوده است. برخی از آنان بر امتناع نامتناهی بالفعل و برخی بر امکان آن، براهینی اقامه کرده‌اند. عده‌ای نیز ادله طرفین را ناتمام دانسته و در مساله توقف کرده‌اند. در پی تلاش‌های کانتور پذیرفته شد که نامتناهی بالفعل، قابل اثبات یا ابطال منطقی نیست. با قبول برهان‌ناپذیری و تصمیم‌ناپذیریِ ریاضیاتیِ نامتناهی بالفعل و استقلال آن از ریاضیاتِ متناهی، در نهایت، در نظریه اصل‌موضوعی مجموعه‌ها، اصل‌موضوع نامتناهی به عنوان یکی از اصول‌موضوعه پذیرفته شد. در این نوشتار، علاوه بر نشان دادنِ استقلال نامتناهی بالفعل از ریاضیات متناهی، برهانی جهت اثبات برهان‌ناپذیریِ ریاضیاتیِ نامتناهی بالفعل ارائه می‌شود. روشن می‌شود که براهین ریاضیاتیِ ابطال نامتناهی بالفعل (مانند تطبیق، طرف و وسط، سُلَّمی و غیره)، برهان به معنای منطقی آن نیستند، بلکه تنها جنبه تنبیهی دارند و در صدد روشن کردنِ هر چه بیشترِ لوازمِ پذیرش مفهوم نامتناهی بالفعل هستند تا در سایه آن، بتوان به قابلیت تصدیقِ امکان یا امتناع نامتناهی بالفعل دست یافت.

is ad infinitum in actu provable?(a critical study)

as a philosophical question covering issues such as whether dimensions of the world are finite or infinite, the possibility of indivisible part, the possibility of an infinite thing, whether time and temporal past incidents are finite or infinite, and regressio ad infinitum in the chain of causes and effects, &ad infinitum in actu& has since long caught the attention and disputes of scholars. some of them have argued for the possibility and some for the impossibility of it. there are others who considered the arguments of both sides inadequate and thus remained silent about the issue. following kantor’s efforts, it was embraced that &ad infinitum in actu& is neither provable nor refutable logically. having embraced that mathematics of infinitum in actu cannot be proved nor can it be decided about and that it is far from mathematics of finitude, at last ad infinitum in actu was accepted as one postulate in the theory of postulates of sets.    in their essay showing that ad infinitum in actu is far from mathematical infinitum, the authors have suggested an argument to demonstrate that infinitum in actu is mathematically unprovable. it will become evident that mathematical arguments for the refutation of ad infinitum in actu (such as those of comparison, of the side and the middle, of ladder, and so on) are not real arguments, rather they are mere hints to more illuminate the consequences of the concept of ad infinitum in actu in the light of which one can decide about the possibility or impossibility of ad infinitum in actu.