on fractional functional calculus of positive operators

Let $nin b(h)$ be a normal operator acting on a real or complex hilbert space $h$. define $n^dagger:=n_1^{-1}oplus 0:mathcal{r}(n)oplus mathcal{k}(n)rightarrow h$, where $n_1=n|_{mathcal{r}(n)}$. let the {it fractional semigroup} $mathfrak{f}r(w)$ denote the collection of all words of the form $f_1^diamond f_2^diamond cdots f_k^diamond~$ in which $~f_j in l^infty (w)~$ and $~f^diamond~$ is either $~f~$ or $~f^dagger$, where $f^dagger=chi_{ { fneq 0 }}/(f+chi_{{f=0}})$ and $l^infty(w)$ is a certain normed functional algebra of functions defined on $sigma_mathbb{f}(w)$, besides that, $w=w^* in b(h)$ and $mathbb{f}=mathbb{r}$ or $mathbb{c}$ indicates the underlying scalar field. the {it fractional calculus} $(f_1^diamond f_2^diamond cdots f_k^diamond)(w)$ on $mathfrak{f}r(w)$ is defined as $f_1^diamond(w) f_2^diamond (w) cdots f_k^diamond (w)$, where $f_j^dagger(w)=(f_j(w))^dagger$. the present paper studies sufficient conditions on $f_j$ to ensure such fractional calculus are unbounded normal operators. the results will be extended beyond continuous functions.

حساب تابعی کسری عملگرهای مثبت

فرض کنید  یک عملگر نرمال بر فضای هیلبرت  با میدان حقیقی یا مختلط باشد. اگر ، تعریف کنید . نیم‌گروه کسری  را مجموعه تمام عباراتی به فرم  درنظر بگیرید که در آن  و  عبارت است از  یا  ، درحالی‌که  و  یک جبر تابعی نرم‌دار مشخص از توابع تعریف شده بر  است. علاوه بر آن،  و . حساب کسری  بر  به صورت  تعریف شده است، درحالی‌که . این مقاله شرایط کافی بر   را چنان بررسی می‌کند که حساب کسری فوق عملگر نرمال بی‌کران باشد. نتایج فراتر از توابع پیوسته گسترش خواهد یافت.