یک روش تکراری پارامتری طیفی برای حل مدل جمعیت ولترا

معادلات انتگرال در شاخه‌های مختلف ریاضی و ریاضی فیزیک به‌طور گسترده‌ای ظاهر می‌شوند و بسیاری از مسائل مقدار اولیه و مقدار مرزی مربوط به معادلات دیفرانسیل معمولی و جزئی می‌توانند به معادلات انتگرال تبدیل و حل گردند. در روش‌های صریح، عموماً اگر نقاط گره‌ای بسیار زیاد باشد یک تقریب خوب از جواب را برای معادله‌ی سخت فراهم می‌کنند. اما از نقطه نظر محاسباتی این موضوع قابل قبول و به صرفه نیست، زیرا نیازمند هزینه‌ی بالای محاسبات و صرف زمان زیادی می‌باشد. لذا، روش‌های ضمنی پیشنهاد می‌شود، که برای به‌ دست آوردن جواب تقریبی باید یک دستگاه غیرخطی از معادلات را با استفاده از روش ژاکوبین حل نماییم. از طرفی، با اضافه کردن تعداد گره‌ها و افزایش بعد ماتریس بررسی همگرایی و پایداری یک مشکل جدی خواهد بود. در این مقاله، یک روش ترکیبی صریح براساس روش تکراری پارامتری و روش هم‌محلی طیفی برای شبیه‌سازی جواب مدل ولترای غیرخطی سخت که برای رشد جمعیت یک گونه در یک سیستم بسته استفاده می‌شود، ارائه می‌دهیم. روش ارائه شده اینجا دارای این مزیت است که به حل دستگاه غیرخطی که در ارزیابی ژاکوبین به آن برخورد می‌کنیم، نیازی نیست. اینجا، ابتدا معادله‌ی جمعیت ولترای غیرخطی به یک دستگاه غیرخطی متناظر تبدیل می‌شود. سپس یک جمله‌ی خطی به قسمت دیفرانسیلی معادله اضافه می‌شود. این جمله خطی اضافه شده می‌تواند به پایداری روش کمک کند، چون جواب‌ها در این حالت بر اساس توابع نمایی بیان می‌شوند. در ضمن پارامتر کمکی درون روش باعث همگرایی سریع روش می‌شود. نتایج به دست آمده در این مقاله عملکرد عالی روش توسعه یافته را نمایش می‌دهد.

a spectral parametric iteration method for solving volterra population model

integral equations are widely used in various branches of mathematics and mathematical physics, and many problems of initial value and boundary value which are related to ordinary and partial differential equations can be converted to integral equations and then be solved. the explicit methods generally provide a good approximation of the answer to a stiff problem if there are too many node points. however, from the computational point of view, this is not acceptable nor cost-effective. because it requires high computational costs and more time for evaluations, implicit methods are proposed, in which to obtain an approximate solution we must solve a nonlinear system of equations using the jacobin method. in addition, by increasing the number of nodes and increasing the matrix dimension, examining convergence and stability is a serious problem. in this paper, a hybrid explicit method based on the parametric iteration method and the spectral collocation method was developed for simulating the solution of the nonlinear stiff volterra’s model for population growth of a species within a closed system. the method derived here has the advantage that it does not require the solution of nonlinear systems of equations encountered in the jacobian evaluation. the results obtained in the present work demonstrate excellent performance of the developed method.