سیمای ماتریسی عملگر هامیلتونی بس-الکترونی در یک کریستال

در کار حاضر، ما نشان می‌دهیم که چگونه می‌توان یک هامیلتونی بس-ذره‌ای را با سیمای ماتریسی نمایش داد. این فرایند به‌منظور یافتن ویژه‌مقادیر انرژی و ویژه‌بردارهای آن بسیار با اهمیت است. در اینجا، هامیلتونی بس-ذره‌ای شامل اثرات الکترون-هسته و انرژی جنبشی الکترون‌ها (عملگرهای تک-نقطه‌ای) و دافعه‌ متقابل الکترون-الکترون (عملگرهای دو نقطه‌ای)، در یک کریستال است. با جزئیات تشریح شده‌است که چگونه می‌توان یک مسئله‌ بس-ذره‌ای را به‌یک مسئله‌ دو ذره‌ای تقلیل داد. با شروع از توابع موج پادمتقارن شده به‌عنوان پایه‌های فضا، ماتریس هامیلتونی به‌روشی مبتنی بر نمایش گرافیکی به‌دست آمد. هر مرحله از تشکیل مولفه‌های ماتریس هامیلتونی به‌تفصیل توضیح داده‌شده‌است. محاسبات نشان می‌دهد که انرژی جنبشی الکترون‌ها و برهم‌کنش الکترون-هسته، مولفه‌های قطری ماتریس هامیلتونی را تشکیل می‌دهند. در نمایش اثرات متقابل الکترون-الکترون، آنجائی‌که نیاز به‌تعویض توابع موج روی ذرات مختلف نیست جملات قطری را می‌سازیم و غیرقطری‌ها دربرگیرنده‌ اثر تعویض توابع موج روی ذرات سامانه است. در کار حاضر از آنجائی‌که به‌دنبال دستیابی به‌حل دقیق هستیم بنابراین از یک سامانه سه‌الکترونی بهره بردیم ولی روش استفاده شده قابل تعمیم به‌سامانه‌های بزرگ‌تر است. همچنین کد نوشته شده برای فرایند ماتریس‌سازی هامیلتونی می‌تواند در اختیار محققین این حوزه قرار بگیرد.

the matrix representation of the many-electron hamoltonian operator in a crystal

in the present work, we show how to visualize a many-electron hamiltonian in the matrix form. this procedure is very important for finding eigenvalues of energy and eigenvectors. here, the many-particle hamiltonian in a crystal includes electron-nucleus effects and electron kinetic energy (one-point operators) as well as electron-electron mutual repulsion (two-point operators). it is thoroughly discussed how to reduce a many-particle problem to a two-particle problem. starting from the antisymmetric wave functions as space bases, the hamiltonian matrix was obtained in a graphical representation-based way. each step of forming the components of the hamiltonian matrix is explained instructively. results show that the kinetic energy of electrons and the electron-nucleus interaction construct the diagonal components of the hamiltonian matrix. in representing electron-electron interactions, we employ diagonal elements that do not require the exchange of wave functions over two particles, but off-diagonal components incorporate the effect of exchanging wave functions over the particles. in this study, since we were looking for an exact solution, we used a three-electron system, but the method used can be extended to larger systems. also, the code written for the hamiltonian matrix creation process can be provided to researchers in this field.