بررسی روش‌های مختلف معرفی فورسینگ

روش فورسینگ کوهن یکی ازمهمترین ابزارهای نظریه مجموعه‌ها برای ساختن مدل‌های از zfc می‌باشد. در این مقاله روش‌های مختلف معرفی فورسینگ را بررسی کرده و نشان میدهیم همه آنها با هم معادل هستند. . ابتدا روش فورسینگ را به کمک مجموعه‌های جزئاً مرتب بیان می کنیم و بعضی از خواص اساسی آن را ذکر می‌کنیم. سپس روش مدل‌های جبر بولیمقدار را می‌آوریم و نشان می دهیم که این رویکرد به فورسینگ با روش اول معادل است. این کار با نشان دادن اینکه هر مفهوم فورسینگ را می‌توان به طور چگال در یک جبر بولی کامل نشاند صورت می‌پذیرد. سپس به معرفی فورسینگ از دیدگاه توپولوژی می‌پردازیم و ارتباط آن را با روش مجموعه‌های جزئاً مرتب می‌آوریم. نشان خواهیم داد رابطه فورسینگ که از دیدگاه توپولوژیکی معرفی می شود با رابطه فورسینگ که از دیدگاه مجموعه‌های جزئاً مرتب تعریف شده یکی است و بنابراین این دو روش اساسا یکی هستند. سرانجام به معرفی فورسینگ از دیدگاه نظریه رسته‌ها پرداخته و ارتباط آن را با روش مدلهای جبر بولیمقدار می‌آوریم. نشان می دهیم که برای یک جبر بولی کامل رسته شیف‌های روی آن را می توان با جهان بولی مقدار ساخته شده توسط آن جبر بولی یکی گرفت.

Study of Different Methods of Introducing Forcing

Cohen’s method of forcing is one of the main tools in set theory for constructing models of ZFC. In this paper, we consider different methods of introducing forcing, and show that they are all equivalent. First we introduce the method of forcing using partial orders and state some of its basic properties. Then we consider the method of Booleanvalued models and show that it is equivalent to the first approach using partial orders. We do this by showing that each forcing notion can densely be embedded into a complete Boolean algebra. Then we introduce the topological approach to forcing and compare it with the partial order approach to forcing. We show that the forcing relation defined in a topological manner is the same as the forcing relation defined using partial orders and hence these two methods are essentially identical. Finally we consider the categorical approach to forcing and compare it with the method of Booleanvalued models. We show that for a given complete Boolean algebra, the category of sheaves over it is essentially the same as the Booleanvalued model constructed using that Boolean algebra.