برخی نتایج در خصوص بردهای عددی کواترنیونی غیراستاندارد ماتریس‌ ها

فرض کنید phi یک برگشت غیر استاندارد روی مجموعه تمام اعداد کواترنیونی و alpha یک عدد کواترنیونی باشد به طوری که phi(alpha) = alpha. برای هر ماتریس مربعی کواترنیونی a, برد عددی a نسبت به phi (به طور مختصر، برد عددی غیر استاندارد a), با نماد w_phi^{(alpha)}(a) نمایش داده می/شود. اگر alpha neq 0, آن/گاه عدد کواترنیونی gamma با شرط phi(gamma) gamma = alpha موجود است به طوری/که w_phi^{(alpha)}(a)= phi(gamma) w_phi^{(1)}(a) gamma. بنابراین، کافیست فقط بر روی دو برد عددی غیر استاندارد w_phi^{(0)}(a) و w_phi^{(1)}(a) تمرکز کرد. در این مقاله، توصیفی از اشتراک w_{phi}^{(1)}(.) با یک فضای 2-بعدی ارائه شده است و سپس با استفاده از آن، w_{phi}^{(1)}(.) برای ماتریس های کواترنیونی phi-هرمیتی مورد مطالعه قرار گرفته است. در ادامه، یک کلاس از ماتریس های کواترنیونی که برای آنها w_phi^{(0)}(.) و w_phi^{(1)}(.) یکسان می باشند، ارائه شده است. همچنین یک مسئله باز در قالب یک حدس جهت انجام کارهای تحقیقاتی بیشتر نیز آورده شده است.

some results on nonstandard quaternionic numerical ranges of matrices

let phi be a nonstandard involution on the set of all quaternion numbers and alpha be a quaternion such that phi(alpha) = alpha. for any square quaternion matrix a, the numerical range of a with respect to phi (shortly, the nonstandard quaternionic numerical range of a), is denoted by w_phi^{(alpha)}(a). if alpha neq 0, then w_phi^{(alpha)}(a)= phi(gamma) w_phi^{(1)}(a) gamma for some quaternion gamma with phi(gamma) gamma = alpha. so, the focus is on two particular nonstandard quaternionic numerical ranges w_phi^{(0)}(a) and w_phi^{(1)}(a). in this paper, a description of the intersection of w_{phi}^{(1)}(.) with a 2-dimensional space is given, and then by using it, w_{phi}^{(1)}(.) is studied for phi-hermitian quaternion matrices. after that, a class of quaternion matrices for which w_phi^{(0)}(.) and w_phi^{(1)}(.) are equal, is given. for further research, an open problem in the form of a conjecture is also given.