منحنی گسترنده تعمیم یافته و خواص آن

ما در این مقاله ضمن ارائه تعمیمی از گسترنده یک منحنی در صفحه، به مطالعه هندسه آن می‌پردازیم. منحنی در صفحه ‎gamma‎ با انحنائ ‎‎κ را در نظر بگیرید. اگر f‎ تابع هموار و حقیقی مقدار باشد در این صورت منحنی فضایی ‎gamma_{f}‎ را به گونه ای تعریف می‌کنیم که تعمیم گسترنده ‎gamma‎ باشد. فرایند دستیابی به این منحنی از طریق معرفی رویه زاویه ای می‌باشد. در قضیه ‎ref{sing}‎ نشان داده شده که نقاط تکینگی ‎gamma_{f}‎ متناظر با نقاط راسی ‎gamma‎ بوده و مستقل از انتخاب تابع ‎f‎ هستند. در چنین نقاطی، منحنی تعمیم یافته دارای تکینگی از نوع کاسپ معمولی است اگر و تنها اگر منحنی ‎gamma ‎ ‎ در ‎s=s_0‎ دارای راس معمولی باشد. همچنین در ادامه، تماس منحنی گسترنده تعمیم یافته ‎gamma_f‎ با کره و صفحه مورد بررسی قرار گرفته است. علاوه بر این با معرفی نوعی منحنی موازی، خواص هندسی آن را مورد مطالعه قرار می‌دهیم.

generalized evolutes of planar curves and its properties

in this ‎paper‎, we present a generalization of the evolute of a curve in the plane and study its geometry. consider a curve in the plane, denoted by ‎‎‎gamma‎‎, with curvature ‎‎kappa‎‎. if ‎‎f‎‎ is a smooth real-valued function, we define the spatial curve ‎‎gamma_{f}‎‎ in such a way that it ‎is the ‎generalization of the evolute of ‎‎gamma‎‎. the process of obtaining this curve is through the introduction of an angular ‎surface‎. theorem 2 shows that the singular points of ‎‎gamma_{f}‎‎ correspond to the vertices of ‎‎gamma‎‎ and are independent of the choice of the function ‎‎f‎‎. in such points, the generalized evolute has a cusp singularity if and only if the curve ‎‎gamma‎‎ has a regular vertex at ‎‎s=s_0‎‎. furthermore, we investigate the contact of the generalized evolute ‎‎gamma_f‎‎ with a sphere and a plane. additionally, by introducing a certain type of parallel curve, we study its geometric properties.