مسئله‌ی کنترل بهینه در بیماری فیبروز ریه و حل آن با رو ش‌های ریاضی

در این مقاله، یک مسئله‌ی کنترل بهینه را برای کاهش انتشار میوفیبروبلاست به منظور جلوگیری از تشکیل بافت فیبروزی در فرآیند ترمیم در بافت ریه ارائه می کنیم. ازآن جا که فاکتور رشد بتا سبب تکثیر و فعال سازی میوفیبروبلاستمی شود، این فاکتور را به عنوان تابع کنترلی مسئله ی کنترل بهینه در نظر می گیریم. با ارائه قضیه ای وجود کنترل بهینه مسئله ی بالا تضمین می گردد. در راستای حل مسئله ی کنترل بهینه نیاز به تبدیل معادله با مشتقات جزئی به سیستم معادلات دیفراسیل معمولی خطی است. این مشکل را با استفاده از روش تفاضلات متناهی مرکزی حل می کنیم. سپس بااستفاده از دو روش اصل ماکسیمال (معادله های هامیلتونی)و روش حساب تغییرات (معادله ی اویلر- لاگرانژ)( در مسئله ی تنظیم بهینه خطی به کنترل مهم ترین عامل، یعنی فاکتور رشد بتا که در همه ی بافت های فیبروزی مشترک است،می پردازیم. درقضیه ای اثبات می کنیم که جواب مسئله ی تنظیم بهینه خطی از هر دو روش یکسان است. در آخر نتایج محاسباتی با دو روش ارائه شده را مقایسه می کنیم.

optimal control problem in pulmonary fibrosis and its solution by mathematical methods

in this paper, we presented an optimal control problem for the least myofibroblast diffusionin order to prevent the formation of fibrotic tissue in the repair process in lung tissue. since transforminggrowth factor-beta causes the proliferation and activation of myofibroblast, we considered this factor asthe control function of the optimal control problem. by presenting a theorem, the optimal control of theabove issue is guaranteed. in order to solve the problem of optimal control, there is a need to convertan equation with partial derivatives into a system of linear ordinary differential equations. therefore,we solved this problem by using the central finite difference method. then, using two methods of themaximum principle (hamiltonian equations ) and the calculus of variations (euler–lagrange equation) inoptimal linear regulator problem, we controlled the most important factor, i.e. transforming growth factor-beta, which is common to all fibrotic tissues. in a theorem, we prove that the solution of the optimal linearregulator problem is the same for both methods. finally, we compared the calculation results with the twopresented methods.