تحلیل همگرایی حل عددی معادله واکنش-انتشار مرتبه دوم با شرایط مرزی

در این مقاله یک رویه خاص برای حل معادلات با مشتقات جزیی مرتبه‌ی دوم واکنش-انتشار(rpdes) ‎‎‎‎‎‏،‎‎‎ با شرایط مرزی‏، با به‌کار گیری روش طیفی تاو ارائه می‌گردد. بنا به نتیجه حاصل این که از نقطه نظر عددی اپراتور انتگرال نسبت به اپراتور مشتق از پایداری بالاتری برخوردار است بنابراین، ابتدا این مسئله را به یک معادله انتگرال ولترا فردهُلم تبدیل می‌کنیم و سپس روش طیفی تاو را برای حل آن به‌کار می‌گیریم. جواب تقریبی را به صورت یک سری برحسب توابع متعامد بر حسب متغیر مکان و ضرایب مجهول بر حسب متغیر زمان بیان کرده و با بکارگیری روش تاو به یک دستگاه معادلات دیفرانسیل معمولی بر حسب ضرایب مجهول می‌رسیم. تحلیل وجود و یکتایی جواب همچنین تحلیل همگرایی روش تاو برای حل این معادله ارائه خواهد شد. روش عددی تاو در دو حالت برای حل این معادله به‌کار می‌گیریم؛ در حالت اول برای مسئلۀ تبدیل یافته معادله به فرم معادله‌ انتگرال ولترافردهُلم (حالت انتگرال) و در حالت دوم به‌طور مستقیم (حالت مستقیم) برای خود معادله روش تاو مورد استفاده قرار می‌دهیم. در ادامه مثال‌های عددی فوق‌همگرایی حالت انتگرال نسبت به حالت مستقیم را نمایش خواهد داد.‎‎

Convergence Analysis of ‎Numerical ‎solution ‎of ‎Secon-order ‎r‎eaction-‎d‎iffusion ‎e‎quation with boundary ‎conditions

‎The aim of this work is to provide a specific process for solving a reactiondiffusion partial differential equation with boundary conditions ‎(‎RPDEs)‎‎. ‎We first convert this ‎R‎PDE problem to VolterraFredholm integral equation (VFIE)‎, ‎because of the good numerical stability properties of integral operators in compare to differential operator‎, ‎then apply the numerical Tau method to solve the obtained integral equation‎. ‎‎‎‎We present the convergence analysis and error estimation of the Tau method based on the proposed process‎. ‎Applying the Tau method yields a system of the ordinary differential equation such that this system is solved by piecewise polynomial collocation methods‎. ‎Intended to show advantages of converting ‎RPD‎E to an integral equation‎, ‎we consider two cases to solve the proposed examples‎. ‎In the first case‎, ‎we apply the Tau method to solve the ‎converted ‎‎R‎PDE problem ‎(‎integral ‎form‎‎‎) and in the second case‎, ‎we solve ‎the ‎R‎PDE ‎problem‎ ‎directly ‎(direct ‎form‎‎)‎ by Tau method‎. ‎Comparing the numerical results‎, ‎we observe that the results obtained from the ‎integral ‎form‎ ‎ are higher than which obtained from the ‎direct ‎form‎‎‎‎.