زیرجبر تفکیک‌پذیر تابعی C(X)

نقش مفید زیر جبر شمارا تابعی c_c(x) در مطالعه‌ی c(x)، انگیزه‌بخش معرفی و مطالعه‌ی زیرحلقه‌ی c_{cd}(y) از c(x) است که آن‌را زیرجبر تفکیک‌پذیر تابعی حلقه‌ی توابع پیوسته‌ی حقیقی می‌نامیم. گیریم y یک زیرمجموعه‌ی چگال x ‌باشد، در این صورت c_{cd}(y)={fin c(x): |f(y)|leq {aleph}_0}. آشکارا c_c(x)subseteq c_{cd}(y)subseteq c(x)، می‌بینیم که c_{cd}(y) در بسیاری خواص همانند c(x) و c_c(x) رفتار می‌کند. ارتباط خواص جبری c_{cd}(y) و خواص توپولوژیکی x را بررسی نموده، به‌ویژه فضاهای توپولوژیکی x را جست‌وجو می‌کنیم که برای آن‌ها c_c(y)=c_{cd}(x) یا c_{cd}(y)=c(x) که در حالت اخیر x را فضای تفکیک‌پذیر تابعی می‌نامیم. هرگاه x یک فضای شماراتابعی یا تفکیک‌پذیر باشد، آن‌گاه c_{cd}(y)=c(x). اگر فضای x شبه‌فشرده و β x تفکیک‌پذیر باشد، آن‌گاه هر fin c(x) روی یک زیرمجموعه چگال از x شماراست. برعکس، اگر هر fin c(x) روی یک زیرمجموعه چگال از x شمارا و هر g_{delta}‌مجموعه‌ دارای درون ناتهی باشد، آن‌گاه c(x)=c_c(x). زیرجبر تفکیک‌پذیر تابعی موضعی c(x) را به‌صورت c_{cod}(x)={fin c(x) : f(y)|leq aleph_0 , text{برای یک زیرمجموعه‌ی چگال باز y از x}} تعریف می‌کنیم، در این صورت c_{cod} x)subseteq l_c(x). ثابت می‌کنیم که برای یک فضای فشرده موضعی و شبه‌فشرده‌ی x، c_{cod}(x)=c(x) اگر و تنها اگر c_{cod}(β x)=c(β x). در ادامه z_{cod}ایدال‌ها در c_{cod}(x) را معرفی نموده و می‌بینیم که بیشتر قضایای راجع به zایدال‌ها را می‌توان برای z_{cod}ایدال‌ها هم بیان نمود.

Functionally Separable Subalgebra of C(X)

The useful role of C_c(X) in studying C(X) motivated us to introduce and study the functionally separable subalgebra C_{cd}(Y) of C(X). Let Y be a dense subset of X, C_{cd}(Y)={fin C(X): |f(Y)|leq {aleph}_0}. Clearly, C_c(X)subseteq C_{cd}(Y)subseteq C(X) and C_{cd}(Y) behaves like C(X) and C_c(X) in more properties. If X is a functionally countable or separable space then C_{cd(Y)=C(X), in this case X is called functionally separable space. Whenever X is pseudocompact and β X is separable, then each fin C(X) is countable on a dense subset of X. Conversely, if each fin C(X) is countable on a dense subset of X and each G_{delta}‌set has nonempty interior, then C(X)=C_c(X). ‌ Locally functionally separable subalgebra of C(X) is denoted by C_{cod}(X) where C_{cod}(X)={fin C(X) : |f(Y)|leq aleph_0 , text{~~for some open dense subset Y of X}}, clearly C_{cod}(X)subseteq L_c(X). For a locally compact and pseudocompact space X, C_{cod}X)=C(X) if and only if C_{cod}(β X)=C(β X). We introduce z_{cod}ideals in C_{cod}(X) and trivially observe that most of the facts related to zideals are extendable to z_{cod}ideals.