بررسی طیف بسامدی و سطوح پوانکاره در آونگ ‌دوگانه

در این مقاله، رفتار آونگ‌‌های دوگانه با در نظر گرفتن تغییر در شرایط اولیه (یعنی افزایش زاویه‌‌ انحراف آونگ بیرونی برای چهار حالت متفاوت 12، 30، 90 و 150درجه) و همچنین بررسی اثر هندسه‌ آونگ‌ها (افزایش طول بازو و جرم آونگ بیرونی) مطالعه شده است. بعد از استخراج معادلات حرکت آونگ‌ها، با استفاده از نگرش لاگرانژی، به‌منظور بررسی تعیین طیف بسامدی، مسیر حرکت آونگ‌‌ها و هم‌چنین مشخص کردن رفتار آن‌ها در هر حالت، از روش‌های تبدیل سریع فوریه و سطوح پوانکاره استفاده شده است. نتایج بدست ‌آمده نشان می‌دهد که افزایش زاویه‌ انحراف آونگ بیرونی منجر به افزایش سطح انرژی سامانه شده که پیامد آن، تغییر رفتار آونگ‌ها از حالت دوره‌ای و شبه‌‌دوره‌ای برای زاویه‌‌های کمتر از 90 درجه به رفتار آشوبناک برای زوایای بیشتر از 90 درجه است. به‌صورتی‌که در حالت آشوبناک مقدار سطح انرژی نسبت به حالت دوره‌ای بیشتر از دو برابر افزایش‌یافته است. افزون بر این، در درون رفتار آشوبناک، به ‌نظر می‌رسد که یک رفتار شبه‌‌دوره‌ای باگذشت زمان در حال شکل‌‌گیری است. از طرف دیگر نتایج محاسبات از تاثیر بسیار چشمگیر ساختار هندسی سامانه بر رفتار آونگ‌ها حکایت دارد. بر اساس محاسبات انجام‌شده، پیامد افزایش طول بازوی آونگ دوم تنها منجر به ایجاد رفتاری کاملاً متفاوت با مورد مشابهش (حالت سوم) گردیده، اگرچه سطح انرژی آن‌ها باهم یکسان است. اما افزایش جرم آونگ دوم به دو برابر نه‌تنها سطح انرژی سیستم را به‌اندازه‌ی تقریبی 330 ژول کاهش داده، بلکه رفتار آشوبناکی (نسبت به حالت سوم) نیز از خود نشان داده است.

investigation of frequency spectrum and poincaré surfaces in double pendulum

in this paper, the behavior of the double pendulums has been studied by considering the effect of initial conditions (angular displacement of the outer pendulum for four cases 12, 30, 90, and 150 degrees) and the influence of system geometry (increasing rod length and mass of the second pendulum), also. after extracting motion equations using the lagrangian method, in order to deal with the frequency spectrum, traces of bobs, and understanding the system behavior for every case, the fast fourier transform (fft) technique and poincare sections have been applied. the obtained results show that the consequence of the rising angular displacement the outer pendulum is to increase the energy level of the system and the change of its behavior from quasi-periodic for angular displacement is less than 90 degrees to chaotic when it is 150 degrees. therefore, the energy level, in this case, has increased more than twice compared to the first. in addition, it seems a quasi-periodic behavior is forming at the heart of chaotic behavior. on the other hand, the results indicate a very significant effect of geometrics on a system’s behavior. according to the calculations, the consequence of increasing the length of the rod of the second pendulum has only led to a different behavior from its similar case (case number 3) completely. however, their energy level is the same. increasing the mass of the outer by twice not only to lead decrease energy level of the system by 330j but also has shown chaotic behavior (in comparison to the case3).