مطالعه ارتعاشات آزاد تیرهای میکرو/نانو همگن پوشیده شده با مواد مدرج تابعی متخلخل با استفاده از روش های تحلیلی و عددی

در این مقاله ارتعاشات آزاد تیرهای میکرو/نانو همگن پوشیده شده با مواد مدرج تابعی متخلخل بر اساس تئوری الاستیسیته ناموضعی ارینگن بررسی شده است. به منظور استخراج معادلات حرکت از تئوری برشی مرتبه اول تیرها یا همان تئوری تیر تیموشنکو استفاده شده است. معادلات حرکت به دست آمده با استفاده از دو روش تحلیلی دقیق و روش عددی برای شرایط مرزی مختلف حل شده اند. در روش تحلیلی ابتدا معادلات حرکت حل می‌شوند و پاسخ کلی مولفه های جابه‌جایی که خود شامل تعدادی پارامتر و ثابت مجهول هستند به دست می آیند. سپس با برقراری شرایط مرزی در دو انتهای تیر به یک دستگاه معادله می رسیم که از حل آن فرکانس های طبیعی استخراج می شوند. در حل عددی از روش مربعات دیفرانسیلی تعمیم یافته برای حل معادلات حرکت استفاده شده است. در بخش نتایج ابتدا با استفاده از مقایسه نتایج به دست آمده از این مقاله با نتایج مشابه ارائه شده در سایر مقالات، صحت و دقت روش حاضر تایید می‌شود. سپس نتایج حاصل از دو روش حل تحلیلی و عددی ارائه شده مقایسه می شوند که تطابق نتایج حاصل از دو روش صحت هر دو روش را تایید می کند. در ادامه تاثیر میزان ضخامت لایه متخلخل و همچنین میزان درصد تخلخل آن لایه بر مقدار فرکانس های طبیعی مورد مطالعه قرار می گیرد.

Free vibration of micro/nano homogeneous beams coated by functionally graded porous layer using analytical and numerical methods

In this paper, the free vibration of homogeneous micro / nano beams coated by a functionally graded layer is investigated based on the Eringen’s nonlocal elasticity theory. In order to extract the equations of motion, the firstorder shear deformation beam theory (Timoshenko’s beam theory) has been used. The obtained equations of motion are solved using two different analytical and numerical methods for different boundary conditions. In the analytical method, the equations of motion are first solved and the general functions for the displacements are obtained. The functions include a number of unknown parameters and constants. Then, by considering the boundary condition equations at both ends of the beam, a set of algebraic equations is extracted. Finally, the natural frequencies are obtained form the nonzero solution of the algebraic equations. In the numerical solution, the generalized differential quadrature method is used to solve the equations of motion. In the results section, first, the validity of present methods should be confirmed. Hence, the results obtained from this article are compared with the corresponding results presented in the litterature. Then, the results of the two analytical and numerical methods are compared, which confirms the consistency of the results of both two methods. The effects of thickness of porous layer and also the percentage of porosity of porous layer on the natural frequencies of beams are studied.