اصلاح روش تبدیل دیفرانسیلی دو بعدی برای حل مسائل دیریکلۀ همگن؛ مسالۀ نمونه: انتقال حرارت در میله‌ها

در این مقاله، راهکاری برای بهبودِ روشِ تبدیلِ دیفرانسیلیِ دو بعدی در حلِ مسائلِ مقدارِ مرزی اولیه‌ی شاملِ معادلۀ دیفرانسیل با مشتقاتِ جزئی و شرایطِ مرزیِ دیریکلۀ همگن، با الهام از روشِ تغییراتیِ ریتز پیشنهاد شده است. برای این منظور، با ضرب کردنِ رابطۀ اساسیِ روشِ تبدیلِ دیفرانسیلی در توابعی معلوم که سببِ ارضاءِ شرایطِ مرزیِ مساله می‌شوند، مشکلِ عدمِ ارضاءِ دقیقِ شرایطِ مرزی که روشِ تبدیلِ دیفرانسیلیِ دو بعدیِ مرسوم از آن رنج می‌برد، بطورِ کامل مرتفع می‌گردد. البته بدیهی است با این کار، روابط و قوانینِ حاکم بر روشِ مرسوم و از جمله، رابطۀ بازگشتیِ متناظر با معادلۀ دیفرانسیلِ مساله تغییر می‌کنند که این تغییرات، به شکلِ مبسوط در مقاله تشریح شده‌اند. در ادامه، برای نشان دادنِ کاراییِ روشِ پیشنهادی، دو مسالۀ انتقالِ حرارت در میله‌ها، یکی با ضریبِ پخشِ گرماییِ ثابت و دیگری با ضریبِ پخشِ متغیر و وابسته به مختصۀ مکانیِ میله، هم بطورِ دقیق و هم با استفاده از دو راهکارِ تبدیلِ دیفرانسیلیِ مرسوم و بهبودیافته حل شده و نتایجِ حاصل، در قالبِ جداول و نمودارهایی، با یکدیگر مقایسه شده‌اند. خوشبختانه، مجموعه نتایجِ عددیِ به‌دست آمده، نشاندهندۀ موثر بودنِ روش پیشنهادی و برطرف شدنِ مشکلِ عدمِ ارضاءِ دقیقِ شرطِ مرزیِ دیریکلۀ همگن در مسائلِ مقدارِ مرزی است.

Enhanced twodimensional differential transform method for solving homogenous Dirichlet problems; Application: heat transfer in bars

In this article, a new method has been proposed to enhance twodimensional differential transform method (2DDTM) for solving initial boundary value problems (IBVPs) including partial differential equations (PDEs) with homogeneous Dirichlet boundary conditions. The method is inspired by the Ritz method which is utilized in variational calculus. To this end, multiplying the basic relation of DTM by specific functions which satisfy the boundary conditions, would resolve the weakness of the classical version of 2DDTM in precisely satisfying the boundary conditions. Obviously, implementing this will change the governing relations of the classical DTM, such as recursive formula related to differential equation of the problem. It should be mentioned that, these changes are comprehensively described in the article. Moreover, to show the robustness of the proposed method, two heat transfer problems in the bars are thoroughly solved by classical and enhanced DTM and the results are compared with the exact solutions. The thermal diffusivity of the bar is considered constant and spatially varied in mentioned problems. The numerical results show the accuracy of the proposed method, especially in satisfying the homogeneous Dirichlet boundary conditions of the problem.