تعیین مدار اولیه ماهواره ها مبنی بر مشاهدات اپتیکی تک ایستگاه زمینی با استفاده از برآورد کمترین مربعات کامل پایدارشده به روش تیخونوف

به منظور تعیین مدار اولیه ماهواره، یکی از راهکار ها استفاده از مشاهدات اپتیکی ردیابی ماهواره ها توسط ایستگاه های زمینی می باشد که به صورت آزیموت، زاویه ارتفاعی و فاصله ماهواره از ایستگاه های زمینی ثبت می شوند. چالشی که هنگام استفاده از این مشاهدات با آن مواجه هستیم این است که این مشاهدات در زمانی بسیار کوتاه و به صورت کمان کوچکی از مدار بیضی شکل رویت می شوند. بنابراین مسئله برازش بیضی مسیر با توجه به کوتاه بودن کمان مشاهدات، دچار بدوضعی بوده و جهت استخراج پارامتر های کپلری مدار نیازمند استفاده از روش پایدارسازی در برآورد بردار مجهولات هستیم. از طرف دیگر مدلی که برای تعیین مدار اولیه مورد استفاده قرار می گیرد، فقط شامل المان های کپلری بوده و تقریبی از مدل کامل مدار که شامل المان های اغتشاشی نیز هست، می باشد. به همین علت، برای حل هر چه بهتر این مسئله می توانیم آنرا در مدل آماری متغیر های همراه با خطا در نظر بگیریم و با استفاده از روش کمترین مربعات کامل پایدارشده به حل بردار مجهولات بپردازیم. مزیت استفاده از این روش، بهره مندی توامان از روش های پایدارسازی و کمترین مربعات کامل می باشد که با توجه به توضیحات فوق، ضرورت هر دو روش در این مسئله اجتناب ناپذیر است. از دیگر مزیت های این روش نسبت به سایر روش های پیشین، می توان استفاده از روند سرشکنی و به کارگیری تمامی مشاهدات اولیه را نام برد. روش های گذشته بیشتر مبتنی بر استفاده از سه یا چند مشاهده موقعیت ماهواره به صورت محدود بودند، که این مورد موجب کاهش کیفیت جواب حاصل می شد. در این مقاله ابتدا به بسط ابعاد ریاضی و کارایی و سرعت این روش اشاره شده و سپس با بررسی چند مسئله تعیین مدار اولیه در حالت های مختلف مدار ماهواره ها، به ابعاد حل عددی و استخراج پارامتر های کپلری مدار با استفاده از روش مذکور پرداخته می شود.

Initial Orbit Determination of the Earth Orbiters Using a Single Ground Optical Tracking Station Based on the Tikhonov Regularized Total Least Squares Estimation

Increasing demand on the launch of the Earth orbiters with a variety of applications makes the problem of the initial orbit determination problem more interesting. The problem is to determine the Keplerian orbital elements of any orbiters using minimum number of observations. Observing the orbiters in their initial phase of orbital launch using the ground optical tracking stations is one of the most reliable and frequently used methods for the problem solution. Slant distance, horizontal and vertical angles of satellite with respect to the local north and zenith are the observed quantities in the optical tracking systems. Shortarc of the observations in particular for the Low Earth Orbiters (LEO) and modeling the initial orbit determination as a twobody problem and ignoring perturbing forces are the main challenging issues in orbital mechanics.Neglecting the perturbation force contribution in the mathematical models of the initial orbit determination sets up of the observation equations with some errors or the so called Error In Variable (EIV) model. Moreover, fitting an ellipse to the observed three dimension position time series of the orbiter and determination of the Kepler elements is an illposed problem. It is due to fact of fitting an ellipse to a few closely distributed data points along the orbit in three dimensional space. Therefore, one has to implement the method of Total Least Squares (TLS) with an appropriate regularization technique for the orbital parameter estimation.Different regularization techniques have been already introduced for solution of illposed problems. Herein, Tikhonov regularization method with the aim of minimization of bias term along with the error in measurements is applied and the orbital elements are estimated. Implementation of regularization method significantly improves the results and in particular the LEO Kepler elements.Numerically, the proposed method is implemented on the estimation of the parameters with different orbital geometry type; including the LEO and Medium Earth Orbiter (MEO) satellite in the polar and nonpolar orbits. In all cases, the orbital parameters and their variances are estimated and statistically tested. Moreover, relative errors of the estimated parameters and their meaningfulness are checked in different scenarios. Theoretically, the problem of orbital parameter estimation is a nonlinear problem by its nature. We are implemented iterative gradientbased solution and therefore linearization of the nonlinear equations is required. For quarantined convergence of the linearized model, initial value of the unknowns with acceptable accuracy is needed. The classical methods, e.g., Gauss, Gibbs and Lambert method of the initial orbit determination problem provide an approximate solution with enough accuracy for initialization of the estimation problem.The Picard condition as an indicator of illposedness on the inverse problem is used to demonstrate in the orbital parameters estimation. The Lcurve method is implemented to get the solution with minimum bias value. The method of Ordinary Least Squares (OLS) is simultaneously implemented on the problem to show how TLS can efficiently be used.