مکان یابی نقاط بهینه تنش در تحلیل ایزوژئومتریک

تحلیل ایزوژئومتریک یک روش عددی جدید در مدلسازی و آنالیز مسائل ‏مهندسی است که انتظار می رود در آینده‌ای نه چندان دور بتواند جایگزین ‏روشهای عددی متداول نظیر اجزای محدود و روشهای بدون المان گردد. ‏اساس این روش فناوری نربز است که این امر باعث شده تا مدلسازی هندسه ‏در این روش بدون تقریب صورت پذیرد. اما در روشهای عددی وجود خطا در ‏تقریب تابع مجهول امری اجتناب ناپذیر است. یافتن نقاطی که در آنها تنش ‏بدست آمده از تحلیل ایزوژئومتریک از خطای کمتری نسبت به سایر نقاط ‏برخوردار باشد، موضوع این پژوهش است. در این مقاله اثبات می‌شود که این ‏نقاط بهینه تنش همان نقاط انتگرال گیری به روش گوس می‌باشند و محل ‏آنها با توجه به مرتبه توابع شکل نربز، منطبق بر حداقل تعداد نقاط مورد نیاز ‏جهت انتگرال گیری به روش گوس در تحلیل ایزوژئومتریک است. با استفاده ‏از این نقاط برای هر مولفه تنش یک سطح بهبود یافته تشکیل می شود که ‏جهت برآورد خطای ایزوژئومتریک مورد استفاده قرار گرفته است. به منظور ‏بررسی کارایی این نقاط بهینه تنش به مدلسازی سه مثال نمونه دارای حل ‏تحلیلی پرداخته شده است. نتایج بدست آمده از این پژوهش صحت وجود این ‏نقاط بهینه تنش را در محل حداقل نقاط مورد نیاز جهت انتگرال گیری ‏عددی به روش گوس در تحلیل ایزوژئومتریک نشان می دهند. ‏

Location of Optimal Stress Points in Isogeometric Analysis

Abstract Isogeomteric Analysis is a newly developed method with some features that can be considered as ‎a potential substitute to other numerical methods such as finite elements and meshless approaches. ‎The NURBS technique, that allows precise geometrical modeling, plays an important role in this ‎method. However, similar to other numerical methods, existence of errors in the approximation of ‎the unknown function is inevitable. This paper is devoted to finding points with higher accuracy in ‎stress recovery by the isogeometric analysis. It can be shown that these points are coincident with ‎the Gauss quadrature points. By making use of these superconvergent points together with the ‎NURBS technique and the least square method, a surface is constructed for each component of ‎the stress tensor that represents the improved stresses. For this purpose, three examples with ‎available analytical results has been solved. The comparison of the obtained improved stresses ‎with the exact solution is used for the sake of verification of the proposed method. It is concluded ‎that the superconvergent points location in the isogeometric analysis are the same as the minimum ‎required Gauss points for the integration of a square element.‎