تحلیل استاتیکی تیر های نانو بر پایه نظریه ی گرادیان تنش و با استفاده از دو روش تحلیلی و عددی نیستروم

نظریه‌ی غیرموضعی گرادیان تنش ارینگن، یکی از پرکاربردترین نظریه‌های مکانیک محیط پیوسته برای تحلیل سازه‌های نانو است، که در آن، تنش غیرموضعی به کمک یک تبدیل انتگرالی با کرنش مرتبط می‌شود. تابع هسته‌ی تبدیل انتگرالی مذکور، یک تابع منحصر به فرد نبوده و تابع‌های گوناگونی برای آن پیشنهاد شده است. در پژوهش حاضر سعی شده است تیر نانوی اویلر - برنولی بر پایه‌ی نظریه‌ی غیرموضعی ارینگن و با فرض تابع هسته‌ی نمایی طبیعی به‌صورت استاتیکی تحلیل شود. شایان ذکر است، در پژوهش حاضر، معادله‌ی انتگرالی حاکم بر رفتار تیر نانو، مستقیماً حل شده و معادله‌ی دیفرانسیل معادل آن نیز به‌دست آمده است. برای حل معادله‌ی انتگرالی ذکرشده از روش عددی نیستروم و روش‌های نظری استفاده شده است. در ادامه، روش مزبور برای تحلیل استاتیکی تیرهای نانو با شرایط مرزی و بارگذاری‌های مختلف به‌کار رفته و نتایج آن با یافته‌های مطالعات پیشین مقایسه شده است. در پایان، به تناقضی در نمودارهای بخش نتایج عددی اشاره و علت آن بررسی شده است.

static analysis of the stress-gradient nanobeam by both of analytical and the nystrom numerical method

this paper deals with the static analysis of the euler-bernoulli nanobeam based on eringen’s nonlocal theory. this theory is used for the nanoscale structures such as nanobeams which claims that the stress tensor is associated with the strain tensor by a linear integral transformation. the kernel function of the transformation contains an attenuation function. several candidates have been proposed for the attenuation function. in this paper, the exponential attenuation function is utilized and the corresponding integral equation is solved directly. to do so, two different methods of the nystrom numerical method and analytical method are employed, respectively. the nystrom numerical method is one of the numerical solutions that is extensively utilized to solve different integral equations. this method builds up a linear system of equations that is conveniently solved by the computational programs. next, the function of the answer is predicted and then examined by the analytical method. in fact, the analytical method is the determination of the unknown constants to justify the integral equation by inserting the mentioned probable answer in the integral equation and putting both sides equivalent to each other. at last, the displacement and curvature function of the nanobeam is determined according to the answer of the integral equation so that the mentioned integral equation converts to an equivalent differential equation that is newly proposed. on the other hand, the resultant displacement function is a closed-form function that contains some constants that should be found by utilizing the boundary conditions of the nanobeam. for the sake of verification, the offered function is employed to determine the dimensionless displacement of a specified point of the beam and compare it with the results given in the previously proposed papers. additionally, the mentioned function is employed to analyze several nanobeams with new boundary conditions and load functions. then, the displacement function is plotted. lastly, a contradiction is also determined based on the displacement graphs in the previous section.