بهبود میدان تنش و برآورد خطا در مسائل مدرج تابعی با تحلیل ایزوژئومتریک

امروزه کاربرد مواد مدرج تابعی در حال افزایش است. در این مصالح خواص مکانیکی به صورت یک تابع پیوسته در سرتاسر دامنه مساله تغییر می‌کند. به‌ علت این تغییرات پیوسته، مشکلات عدم چسبندگی مصالح، لایه‌لایه شدن و ایجاد تمرکز تنش در محل اتصال که در سازه‌های کامپوزیتی می‌تواند مشکل‌ساز باشد به‌وجود نمی‌آید. برای تحلیل مواد مدرج تابعی می‌توان از روشهای عددی مانند روش اجزای محدود استفاده نمود، اما به دلیل محدودیت‌هایی همچون عدم وجود یک المان مناسب برای تحلیل مسائلی با تغییرات خواص مصالح و یا عدم توانایی در مدل‌سازی دقیق مزرهای اشکال با هندسه پیچیده، در این پژوهش از روش ایزوژئومتریک استفاده شده است. همچنین از آنجا که خطا بخش جدا نشدنی درهر یک از تحلیل‌های عددی است و همواره قابلیت اطمینان به نتایج دغدغه اصلی محققان بوده است، و در حالت کلی پاسخ دقیق بسیاری از مسائل موجود نیست، یافتن راه حلی جهت برآورد خطای موجود در محاسبات از اهمیت ویژه‌ای برخوردار است. بنابراین در این نوشتار برای اولین بار روش ایزوژئومتریک در تحلیل مسائل با مصالح مدرج تابعی با رویکرد بهبود میدان تنش و برآورد خطای موجود در آن بسط داده شده است. این برآورد کننده خطا در دسته روشهای برآورد خطا مبتنی بر بازیافت تنش قرار دارد. از مقایسه نرم خطای دقیق و نرم خطای تقریبی برای مسائل نمونه مشاهده می گردد که برآورد کننده خطای پیشنهادی از کارایی مناسبی برای برآورد خطای موجود در تحلیل مسائل با مصالح مدرج تابعی به روش ایزوژئومتریک برخوردار است. همچنین می‌توان به کمک روش برآورد کننده خطای پیشنهادی، مناطقی از دامنه حل ایزوژئومتریک را که دارای خطای زیادی است، شناسایی کرد و به بهبود محلی شبکه در آن مناطق و افزایش دقت حل ایزوژئومتریک دست یافت. 

improvment of stress field and error estimation infunctionally graded problems with isogeometrical analysis

today, the use of functionally graded materials is increasing. in these materials, the mechanical properties change as a continuous function throughout the problem domain. due to these continuous changes, the problems of non adhesion of materials, delamination and stress concentration at the joint, which can be problematic in composite structures, do not arise. numerical methods such as the finite element method can be used to analyze functionally  graded materials, but due to the limitations of this method, we will face many problems. the most important of these problems are the lack of a suitable element for the analysis of problems that can accommodate changes in the properties of materials, or the inability to accurately model the edges of shapes that have complex geometry, so in this research, the isogeometric method is used in which these weaknesses are eliminated. also, since the error is an inseparable part of any numerical analysis and the reliability of the results has always been the main concern of the researchers, and in general, there is no exact answer to many problems, finding a solution to estimate the error in the calculations is of special importance. therefore, in this article, for the first time, the isogeometric method has been developed in the analysis of problems with functionally graded materials with the approach of improving the stress field and estimating the error in it. this error estimator is in the category of error estimation methods based on stress recovery, and the goal is to increase the impact index of the error estimator and more adapt the error distribution method obtained from the proposed error estimator with the exact error estimator in solving problems. in this method, by using superconvergent points, where the order of convergence of the gradient of a function is one order higher than the value expected from the approximation of the shape function related to the approximate solution, a hypothetical surface is made for each stress value. to define this surface, we use the same shape functions used in the isogeometric method to approximate unknown functions. this hypothetical level is created when the coordinates x, y and z of its control points are specified. the x and y coordinates of each control point are used to model the geometric shape. the z component of the control points is calculated by minimizing the distance between this hypothetical level and the stress level obtained from isogeometric solution at the gauss elements points of each region using the minimum square sum method. from the comparison of the exact error norm and the approximate error norm for sample problems, it can be seen that the proposed error estimation has a suitable efficiency for estimating the error in the analysis of problems with functionally graded materials by isogeometric method, and it can be used as a solution to error estimation and calculate the improved stress field level in solving functionally graded problems by isogeometric method. it is also possible to identify areas of the isogeometric solution domain that have a large error with the help of the proposed error estimator method and achieve local improvement of the network in those areas and increase the accuracy of the isogeometric solution.