به‌کارگیری شبکه‌های غیرانطباقی درخت چهارتایی در روش المان محدود

در روش المان محدود استاندارد، وجوه المان‌های مجاور کاملاً بر یکدیگر منطبق بوده و گوشه یک المان بر وجه یک المان دیگر قرار ندارد. در صورتی‌که گره گوشه‌ای یک المان بر روی وجه المان همسایه واقع شود گفته می‌شود که شبکه غیرانطباقی است. استفاده از چنین شبکه‌هایی در روش المان محدود به تکنیک‌های ویژه‌ای نیاز دارد. در مقاله حاضر، یک روش جدید برای استفاده از شبکه‌های غیرانطباقی پیشنهاد شده است. درخت چهارتایی یک ساختمان داده درختی با یک الگوریتم بازگشتی بسیار سریع است و می‌توان از آن جهت شبکه‌بندی نواحی دوبعدی استفاده کرد. المان‌های تولید شده با این روش غیرانطباقی بوده و قابلیت استفاده در روش المان محدود استاندارد را ندارند. در مقاله حاضر ایده جدیدی جهت محاسبه توابع شکل چنین المان‌هایی پیشنهاد شده است. در این روش از حل یک مسئله مقدار مرزی برای استخراج توابع شکل استفاده شده است. شرایط مرزی در این مسئله به ‌نحوی انتخاب شده است که تغییرات توابع شکل در بین هر دو گره مجاور خطی باشد. برای بررسی دقت و کارآیی روش پیشنهادی دو مثال عددی حل شده و نتایج ارائه گردیده است. نتایج نشان می‌دهد که با استفاده از روش پیشنهادی می‌توان از شبکه‌های غیرانطباقی به‌طور موثری در روش المان محدود استفاده کرد.

Application of Nonconforming Quadtree Grids in the Finite Element Method

In the standard finite element method, the edges of the adjacent elements are aligned to each other, and the corner of an element does not locate on the edges of another one. If this constraint violates, the mesh is called nonconforming and the use of such meshes in the finite element method requires specific techniques. In the present paper, a new method is suggested for treating nonconforming meshes. Nonconforming meshes appear generally in adaptive mesh refinement processes especially in the quadtree mesh refinement algorithm. The quadtree is a data structure with an extremely fast recursive algorithm and is used to divide a twodimensional domain into subregions or elements. In the present paper, a new approach is proposed to construct the shape functions of such elements. In this method, the shape functions are considered harmonic functions and the Laplace boundary value problem is defined and its solution is used as the shape functions of the nonconforming elements. To evaluate the applicability and accuracy of the proposed method, two numerical examples are solved and the results are presented. The results show that the proposed method can be used to effectively apply the nonconforming meshes in the finite element method.