استخراج روابط صریح در تعیین فرکانس طبیعی تیر اویلر-برنولی دارای ترک روی بستر الاستیک با استفاده از روش رایلی

در این مقاله، یک حل تقریبی بر مبنای روش رایلی، برای تحلیل رفتار مودال تیر اویلربرنولی دارای ترک روی بستر الاستیک ارائه می‌شود. مدل‌سازی بستر الاستیک با استفاده از تئوری فنر ارتجاعی وینکلر انجام و میزان سفتی فنر، متناظر با خواص مادی بستر الاستیک مشخص می‌گردد. تابع دلتای دیراک برای اعمال مود باز شدگی ترک در معادله رایلی بکار گرفته می‌شود که در آن ضریب مربوط به این تابع می تواند برحسب ضریب سفتی یک فنر پیچشی متناظر و با درنظر گرفتن پارامترهای مادی و هندسی ترک مشخص گردد. در تحلیل حاضر، روابط صریح جدیدی برای محاسبه فرکانس طبیعی تیر دارای ترک روی بستر الاستیک در سه شرط مرزی ساده-ساده، گیردار-گیردار و گیردار-آزاد ارائه می‌شود. در این روش، فرکانس طبیعی در مود اول ارتعاش تیر دارای ترک روی بستر الاستیک به صورت نسبت انرژی پتانسیل غنی شده ماکزیمم و انرژی جنبشی ماکزیمم تعیین می‌گردد. اثرات عمق ترک، محل ترک و بستر الاستیک روی پاسخ فرکانس طبیعی تیر بر پایه روابط استخراج شده بررسی می‌شود. نتایج تحلیل‌ها نشان می‌دهد که با افزایش عمق ترک، فرکانس طبیعی تیر ترک‌خورده کاهش می‌یابد؛ درحالی که بستر الاستیک موجب افزایش فرکانس طبیعی تیر دارای ترک می‌شود. مقایسه نتایج روابط پیشنهاد شده با نتایج مدل‌سازی کامل سازه در نرم‌افزار آباکوس نشان می‌دهد که تحلیل حاضر از دقت مناسبی برخوردار است.

Derivation of Explicit Relationships in the Determination of the Natural Frequencyof Euler-Bernoulli Cracked Beams on Elastic Foundation the Using Rayleigh Method

In this paper, an approximate solution based on the Rayleigh’s method is sought to analyze the vibration behavior of EulerBernoulli cracked beam resting on an elastic foundation. The modeling of the elastic foundation is implemented using the Winkler elastic spring theory and the stiffness factor of the elastic spring is specified corresponding to material characteristics of the elastic foundation. The Dirac’s delta function is used to apply the crack opening mode in the equation of the Rayleigh in which the factor of this function can be identified in terms of the stiffness factor of an equivalent rotational spring by considering material and geometric parameters of the crack. In the present analysis, explicit relationships are originally established to obtain the natural frequency in three boundary conditions of simply supportedsimply supported, clampedfree and clampedclamped. In this method, the natural frequency of the first mode is determined as the ratio of the maximum enriched potential energy to the maximum kinetic energy. Based on these relationships, the effects of the crack depth, the crack location and the elastic foundation on the response of natural frequency of the beam are investigated. The results of the analysis demonstrate that increasing the crack depth decreases the natural frequency of the beam containing the crack; while the elastic foundation increases the natural frequency of the cracked beam. The comparison of the results of proposed relations with those of full modeling of the structure in ABAQUS software shows a reasonable accuracy of the present analysis.