ارائه فرمولاسیون اجزا محدود جهت تحلیل رفتار دینامیکی میکروروتورها براساس نظریه گرادیان کرنش

در این مقاله برای اولین بار فرمولاسیون اجزا محدود سه بعدی سامانه روتور، متشکل از میکروشافت دوار و دیسک‌های متصله براساس نظریه گرادیان کرنشی به منظور بررسی رفتار دینامیکی یا مشخصات ارتعاشاتی این سامانه ارائه شده است. مدل مذکور این امکان را فراهم می‌کند که ضمن در نظر گرفتن اثرات ناشی از قرار داشتن هندسه سامانه در ابعاد میکرو، تاثیرات مربوط به غیرصلب بودن یاتاقان‌ها، میرایی داخلی و نامیزانی در میکروروتور را مورد مطالعه قرار دهد. برای ارائه این فرمولاسیون، در ابتدا روابط مربوط به انرژی کرنشی سامانه براساس نظریه گرادیان کرنشی و انرژی جنبشی سامانه با وجود نامیزانی در دیسک حین حرکت عرضی، همراه با جملات مربوط به اینرسی ناشی از دوران و گشتاور ژیرسکوپیک بیان گردیده‌اند. سپس با استفاده از اصل تعمیم یافته همیلتون به منظور دستیابی به فرم ضعیف شده معادلات و تقریب متغیرهای مربوط به مولفه‌های جابه‌جایی عرضی میکروروتوربا توابع شکل مناسب، معادلات حرکت گسسته سازی شده‌اند و برای اولین بار ماتریس‌های جرم شافت و دیسک، اینرسی دورانی شافت و دیسک، میرایی یاتاقان، ژیرسکوپیکی شافت و دیسک، سختی و نیز ماتریس چرخشی براساس نظریه گرادیان کرنش برای سامانه روتور تعیین شده‌اند. به عنوان مثال‌هایی، مشخصات ارتعاشاتی سامانه میکروروتوری و نیز پاسخ سامانه در برابر حضور نامیزانی در دیسک آن ارائه شده است. نتایج عددی ارائه شده بعد از صحه‌گذاری مدل پیشنهادی، بیانگر تاثیر بارز ثابت مادی مرتبۀ بالابر مشخصات ارتعاشاتی میکروروتور شامل بسامدهای طبیعی، سرعت دورانی بحرانی، سرعت دورانی در آستانه ناپایداری سامانه و همچنین پاسخ سامانه در اثر حضور نامیزانی جرمی در دیسک می‌باشد.

Finite Element Analysis of Vibration Behavior of MicroRotors Utilizing a Developed Strain GradientBased Beam Element

ABSTRACT: In this paper, a threedimensional finite element model is developed based on the strain gradient theory to investigate the vibration characteristics of microrotors. The model is not only capable of dealing with smallsize effects, but also the flexibility of bearings, internal damping and mass eccentricity in the system. The expressions related to the strain energy of the shaft of the microrotor are derived on the basis of strain gradient theory together with the kinetic energy of the system considering mass eccentricity in the disk and rotary inertia and gyroscopic effects of the rotating shaftdisksystem. By using the extended Hamilton’s principle to obtain weak forms of governing equations and approximating displacement components by special interpolation functions which can be used to model a strain gradient based microbeam, equations of the motion are discretized into a finite element form. The natural frequencies, critical speeds and the threshold of instability rotational speed of the microrotor are obtained by transforming discretized equations of motion into state space form. The response of the micro rotor under excitation of the mass eccentricity of the disk in forced vibrations isalso presented. Numerical results show profound effects of higher order material constant on vibration characteristics of the microrotor.