تعیین جواب بهینه معادله تصادفی-مالی فاینمن-کاک بر پایه بسط ژاکوبی و ایرفویل

در این مقاله، معادله فاینمن-کاک را با روش هم محلی با پایه‌های ژاکوپی و ایرفویل، حل می‌کنیم. این معادله دیفرانسیل با مشتقات جزئی یکی از معادلات مهم و پرکاربرد تصادفی در ریاضیات مالی است.به دلیل افزایش تقاضادر علوم کاربردی مثل ریاضیات مالی، اقتصاد و پیچیدگی در مدلسازی‌ها، تجزیه و تحلیل و محاسبه داده‌ها، تلاش‌های چشمگیری در جستجوی مدل‌های بهتر ریاضی برای بدست آوردن جواب‌های تقریبی معادلات مدلسازی شده در سال‌های اخیر انجام شده است. به خوبی تشخیص داده شده است که بسیاری از سیستم‌هایی که در دوره جدید با آن روبرو شده‌اند را نمی‌توان تنها با معادلات دیفرانسیل معمولی به روش‌های سنتی و یا مدل معادلات دیفرانسیل تصادفی نشان داد.حالات اینگونه سیستم‌ها دارای دو مولفه است، یعنی حالت مداوم و حالت رویداد گسسته. دینامیک گسسته ممکن است برای نشان دادن یک محیط تصادفی یا سایر عوامل تصادفی که نمی‌تواند در مدل‌های معادله دیفرانسیل سنتی نشان داده شود مورد استفاده قرار گیرد.سیستم‌های دینامیکی که در بالا به آنها اشاره شد اغلب به عنوان سیستم ترکیبی شناخته می‌شوند. در نگاه اول، این فرایندها ظاهراً شبیه به فرآیندهای انتشار مشهور هستند. فرمول فاینمن –کاک یکی از روش‌های نوین پیشنهادی برای حل اینگونه از معادلات است.این فرمول روش حلی برای معادلات دیفرانسیل با مشتقات جزئی مرتبه دوم و معادلات دیفرانسیل تصادفی ارائه می‌دهد. کاربردهای این فرمول در زمینه‌ی کنترل تصادفی، تامین ریاضی مالی، تجزیه و تحلیل ریسک و زمینه‌های مرتبط با آن می‌توان نام برد.در این مقاله با پیاده‌سازی روش‌های عددی روی معادله فاینمن-کاک، دستگاه‌های غیرخطی حاصل می‌شود که می‌توان آنها را با روش‌های عددی حل دستگاه‌های غیرخطی، مثل روش تکراری نیوتن حل کرد. وجود، یکتایی جواب و همگرایی روش‌ها مورد بررسی قرار می‌گیرد و در مثالی نشان خواهیم داد که با  تعداد تکرار کم و  معیار توقف مناسب با سرعت همگرایی بالا به جواب تقریبی معادله همگرا شد و این نشان‌دهنده‌ی دقت بالای جواب تقریبی و سرعت همگرایی روش‌ها ی عددی است.

Determining the optimal response of Feynman-Kak stochastic-financial equation based on Jacobi and Irfoil expansion

In this paper, we solve the Feynman-Kac equation using the collocation method with Jacobi and Airfoil bases. This partial differential equation is one of the most important and widely used random equations in financial mathematics. Due to the increasing demand in applied sciences such as financial mathematics, economics and complexity in modeling, data analysis and calculation, significant efforts have been made in search of better mathematical models to obtain approximate solutions to the modeled equations in recent years. It is well established that many of the systems encountered in the new era cannot be represented by ordinary differential equations in the traditional way or by the model of random differential equations. This equation offers a solution for quadratic partial differential equations and stochastic differential equations. Applications of this formula in the field of random control, financial mathematics, risk analysis and related fields can be mentioned. In this paper, by applying numerical methods to the Feynman-Kac equation, nonlinear devices are obtained that can be solved by numerical methods for solving nonlinear devices, such as Newton’s iterative method.