تابع سرعت و فشار شاره‌ نوسانی در سلول هل - شاو دایره‌ای

ما در این مطالعه شکل تابع سرعت و فشار شاره‌ای در حال نوسان بین دو صفحه‌ ‌موازی شیشه‌ای را که تشکیل سلول هل - شاو دایره‌ای می‌دهند، بررسی کرده‌ایم. جریان شارۀ شعاعی، تراکم ناپذیر و آرام در نظر گرفته شده است. معادله‌ نویه‌ ‌- استوکس وابسته به زمان در مختصات استوانه‌ای با استفاده از تبدیل فوریه حل شده‌ است و سرعت شاره‌ نوسانی در سراسر ضخامت سلول در زمان‌های مختلف به دست آمده است. تابع سرعت شاره در حالت غیر پایا به مولفه‌ عمودی مختصات به صورت توابع سهموی و همچنین با عکس مولفه‌ شعاعی  متناسب است. وابستگی به زمان به صورت هماهنگ ساده با بسامدی برابر با بسامد نوسان ظاهر می‌شود. سرعت شاره در میانه‌ سلول در راستای ارتفاع سلول بیشینه است و از میانه‌ سلول به سمت صفحه‌ بالا و یا پایین، به تدریج کم می‌شود و به صفر می‌رسد. فشار به ارتفاع بستگی ندارد و با شعاع به صورت لگاریتمی تغییر می‌کند. وابستگی فشار به زمان نیز به صورت هماهنگ ساده با بسامد خارجی است، ولی نسبت به سرعت اختلاف فاز دارد‏.

Velocity and pressure functions of an oscillating flow in a circular Hele-Shaw cell

In this study, we have investigated the form of velocity and pressure functions of a fluid oscillating between two parallel glass sheets that form a circular Hele Shaw cell. The flow has been considered to be radial, incompressible and laminar. The time dependent Navier Stokes equation has been solved in cylindrical coordinates using Fourier transform, and the oscillating flow velocity across the thickness of the cell has been obtained at different times.  The flow velocity function in the unsteady state is related to the vertical component of the coordinates in the form of parabolic functions and also to the inverse of the radial component. The time dependence appears as a simple harmonic with a frequency equal to the oscillation frequency. The velocity of the flow is maximum at the middle of the cell along its height and gradually decreases from the middle towards the top or bottom plane and reaches zero. Pressure does not depend on the height and changes logarithmically with the radius. The dependence of pressure on time is also a simple harmonic with the external frequency, but it has a phase shift with respect to the velocity.