تاملی فلسفی دربارﮤ جبر ‌مجرد

در این مقاله، برآنیم که منازعهٔ صورت‌گرفته میان فرگه و هیلبرت را دربارۀ هندسه، در مورد جبر‌مجرد بررسی کنیم. برای اینکه بدانیم در مورد جبر مجرد تفکر فرگه‌ای می‌تواند راه‌گشا باشد یا هیلبرتی، ابتدا زمانه ای را بررسی کرده ایم که در آن فرگه و هیلبرت مشغول فلسفه ورزی بوده اند؛ تا تصویری از فضای فکری غالب آن زمان و تاثیر آن بر این دو ریاضی‌دان به دست آوریم. سپس و با درنظرداشتن این مورد، به تعدادی از اختلافات موجود در رویکرد فرگه و هیلبرت اشاره کرده و به این نتیجه رسیده ایم که از مهم ترین نقاط افتراق میان این دو، می توان به نقش فاعل شناسا در حوزۀ ریاضیات و دیگری، بحث دربارهٔ سازگاری اشاره کرد. در ادامه و پس از ارائۀ تعریف هنجاری جبر، با استفاده از نظریات ویتگنشتاین متاخر که در کتاب در باب یقین و تحقیقات فلسفی بیان شده است، به بررسی نکات طرح‌شده از جانب هیلبرت و فرگه پرداخته ایم. در انتها و با توجه به تمامی جوانب، به این نتیجه رسیده ایم که آنچه در بررسی فلسفی جبر مفیدتر به نظر می‌رسد، رویکرد سومی‌است؛ و آن رویکردِ ویتگنشتاین همراه با مقداری اصلاحات است؛ به این دلیل که چند ویژگی مهم را برای ما تضمین می کند. این ویژگی ها عبارت‌اند از: معناداری، بین الاذهانی بودن و قاعده محور بودن که همگی برای ریاضی دانان ویژگی های مهمی محسوب می شوند.

philosophical thinking about abstract algebra

in this paper, we intend to examine the controversy between frege and hilbert over geometry about abstract algebra; whether frege’s thinking about abstract algebra works out or hilbert’s? to this end, we first study the times when frege and hilbert were engaged in philosophy, to have an idea of the dominant intellectual atmosphere of that time and its influence on these two mathematicians. with this in mind, then we have pointed out some differences between frege and hilbert’s approaches. we have concluded that their most important differences are the role of the subject in mathematics and the discussion about compatibility. after presenting the normative definition of algebra, we have investigated the points made by hilbert and frege, using the later wittgenstein theories expressed in the books on certainty and philosophical investigation. finally, by considering all the aspects, we have concluded that what seems to be more useful in the philosophical study of algebra is a third approach, which is wittgenstein’s approach with some modifications, since it guarantees some important features. these features are meaningfulness, intersubjectivity, and ruleorientation, all of which are important features for mathematicians.