یک راه‌کار ابتکاری برای حل مساله کوتاه‌ترین زمان به عنوان کلاسی از مسائل حساب تغییرات

مساله کوتاه‌ترین زمان یک مساله قدیمی است که از آن به عنوان منشاء ظهور حساب تغییرات یاد می‌شود. ازطرفی کاربردهای مختلف حساب تغییرات در علوم مختلف از جمله ریاضیات، فیزیک، مهندسی برق، مکانیک و رباتیک این حوزه را به یک زمینه فعال تحقیقاتی برای محققان در حوزه‌ی ریاضیات و مهندسی تبدیل نموده است. در این مقاله، یک روش ابتکاری برای حل مساله کوتاه‌ترین زمان ارائه شده است. این روش بر پایه تبدیل معادله دیفرانسیل مساله کوتاه‌ترین زمان، به یک دستگاه معادلات دیفرانسیل استوار است. در استفاده از روش پیشنهادی دو انتخاب غیر بدیهی برای تشکیل دستگاه معادلات ارائه گردیده و شکل کلی جواب عمومی در هر حالت به دست آمده است. در نهایت در بخش مقایسه مسیرهای مختلف حل مساله کوتاه‌ترین زمان، مشخص گردید که تنها یکی از دو جواب به دست آمده حائز شرایط مساله کوتاه‌ترین زمان است. لازم به ذکر است، جواب بهینه به‌دست آمده در امتداد مسیر پیشنهادی دقیقاً با مقدار به‌دست آمده در امتداد مسیر بهینه یعنی منحنی چرخ‌زاد برابری می‌کند. همچنین برای فهم بهتر موضوع دو رویه در نرم‌افزار میپل ارائه و خروجی‌های حاصل از آن به نمایش در آمده است

an innovative solution for the brachistochrone problem as a class of the calculus of variations

the problem of the shortest time is an old problem that is referred to as the origin of the calculus of variation. the various applications of calculus of variations in different fields, including mathematics, physics, electrical engineering, mechanics, and robotics, have transformed this area into an active research field for mathematicians and engineers. in this article, an innovative method for solving the brachistochrone problem is proposed. this method is based on transforming the differential equation of the brachistochrone problem into a system of differential equations. in the proposed approach, two non-trivial choices for forming the system of equations are presented, and the general form of the solution is obtained in each case. finally, it is determined that only one of the two obtained solutions satisfies the proposed final condition of the problem. additionally, the optimal solution obtained from the proposed path exactly matches the value obtained along the optimal path, namely the cycloid. furthermore, two maple procedures are presented, and the resulting outputs are displayed.