رنگ آمیزی نقره ای گراف پترسن تعمیم یافته

فرض‌کنید g=(v,e) زیرمجموعه iاز راس‌ های گراف را یک مجموعه مستقل می‌نامند، هرگاه هیچ دو راسی از i در g مجاور نباشند. هر مجموعه مستقل ماکزیمم از گراف را یک قطر گراف می‌نامند. فرض‌کنید c یک(r+1) -رنگ‌آمیزی معتبر برای گراف r -منتظم g باشد. راس v نسبت به رنگ‌آمیزی c رنگین‌کمان است، هرگاه همه‌ی رنگ‌ها در همسایگی بسته n[v]=n(v)∪{v} ، ظاهر شوند. فرض‌کنید i یک قطر، برای گراف r-منتظم g باشد. یک (r+1) -رنگ‌آمیزی معتبر c را رنگ‌آمیزی نقره‌ای نسبت بهi می‌نامند، هرگاه هر راس v∈i رنگین‌کمان باشد. گراف g را نقره‌ای می‌نامند، اگر دارای یک رنگ‌آمیزی نقره‌ای نسبت به i باشد. در مقاله [1]، ‌این مساله مطرح گردیده است: خانواده گراف‌های r-منتظم g را تعیین کنید که نقره‌ای باشند. برای پاسخ دادن به این سوال در این مقاله، گراف‌های پترسن تعمیم‌یافته را در نظر گرفته‌ایم.
در این مقاله، نشان می‌دهیم گراف پترسن تعمیم‌یافته p(n,k) ، به ازای n≡0 (mod4) و k یک عدد فرد، یک گراف کاملاً نقره ای است. هم‌‌چنین، نشان می‌دهیم برای هر عدد طبیعیn، یک رنگ آمیزی نقره‌ای برای گراف‌های پترسن تعمیم یافتهp(n,1)، p(n,2) (n>5) و p(n,3) n≠10,14,26، نسبت به یک مجموعه مستقل ماکزیمم آن وجود دارد. هم‌‌چنین، به ازای هر k>2، گراف‌‌ p(2k+1,k)، به ازای هر k>3 ، گراف p(3k+1,k) و به ازای هرk ≠5,9،k>3 ، گراف p(3k-1,k) نقره‌ای هستند.