تکامل اولین مقدار ویژه مساله کمانش روی منیفلدهای ریمانی تحت شار ریچی

میان مسائل مقدار ویژه از عملگر لاپلاس، مسائل مقدار ویژه عملگر هارمونیک دوگانه از موضوعات جالب و مهم هستند، چون این مسائل ریشه در مباحث فیزیک و آنالیز هندسی دارند. مساله کمانش یکی از مهمترین مسائل فیزیک است و مطالعات زیادی توسط محققان در مورد جواب و تخمین مقدار ویژه آن انجام گرفته است. در این مقاله، ابتدا معادله تکامل اولین مقدار ویژه غیر صفر از مساله کمانش روی منیفلدهای ریمانی بسته ( منیفلد ریمانی فشرده و بدون مرز) را در امتداد شار ریچی غیرنرمال و شار ریچی نرمال بدست آورده و با استفاده از آنها ثابت می‌کنیم که اولین مقدار ویژه غیر صفر و بعضی از کمیت‌های وابسته به این مقدار ویژه، تحت بعضی از شرایط هندسی، در امتداد شار ریچی یکنوا هستند. سپس روی منیفلدهای خاصی از قبیل منیفلدهای همگن، 3 بعدی، 2 بعدی، رفتار تکاملی این مقدار ویژه را بررسی می‌کنیم. بویژه در حالت 2بعدی با توجه به مقدار انحنای اسکالر در امتداد شار ریچی نرمال، کمیت‌هایی وابسته به اولین مقدار ویژه پیدا می‌کنیم که تحت شار ریچی نرمال یکنوا هستند. در نهایت هم مثال‌هایی از قبیل حالت‌های سولیتون و منیفلدهای اینشتین ارائه می‌کنیم و تکامل اولین مقدار ویژه مساله کمانش را تحت شار ریچی روی این مثال‌‌ها بدست می‌آوریم.