عدد تارسکی و دستگاههای معادلات پیکربندی

مفهوم پیکربندی گروه ها که بر پایه‌ی افرازهای متناهی و رشته‌های متناهی از اعضای g تعریف می‌شود، توسط رزنبلات و ویلیس بیان شده است. به هر مجموعه از پیکربندی‌های یک گروه دستگاهی متناهی از معادلات خطی موسوم به دستگاه پیکربندی نظیر می‌شود. رزنبلات و ویلیس نشان دادند که گروه گسسته‌یg میانگین‌پذیر است اگر و تنها اگر هر دستگاه ممکن از پیکربندی‌های g جواب نرمال داشته باشد. در این مقاله به بررسی مقایسه‌ای وجود جواب‌های نرمال چنین دستگاه‌هایی می‌پردازیم. نشان می‌دهیم که اگر یک دستگاه پیکربندی جواب نداشته باشد، دستگاهی که از تظریف افراز اولیه به دست می‌آید، نیز دارای جواب نخواهد بود. تجزیه‌ی متناقض نیز که برای گروه‌های میانگین‌ناپذیر قابل بیان است بر اساس افرازها و اعضای g ، تعریف می‌شود. این مفهوم دارای ارتباط نزدیکی با پیکربندی است. عدد تارسکی یک گروه میانگین‌ناپذیر کوچک‌ترین تعداد ممکن از پاره‌های تجزیه‌های متناقض آن گروه است. در مقاله‌ی حاضر همچنین ارتباط بین اعداد تارسکی زیرگروه‌های دو گروه با پیکربندی‌های یکسان را به دست می‌آوریم.