عملگر l_r و نگاشت گاوس رویه‌های درجه دوم

چندجمله‌ای های درجه دوم بر حسب متغییرهای x,y,z، یک رویه درجه دوم را مشخص می‌کند. در این مقاله با استفاده از عملگر l_1 (عملگر چنگیاو )که بر تابع های هموار روی رویه‌ها اثر می‌کند به مطالعه نگاشت گاوس رویه‌های درجه دوم در فضای اقلیدسی سه بعدی r^3 می‌پردازیم. فرض کنید f یک تابع هموار بر رویه m باشد، آنگاه l_1 f=tr(p_1 o ∇^2 f)که p_1 اولین تبدیل نیوتن وابسته به دومین فرم اساسی رویه و ∇^2 f عملگر خودالحاق و هم‌ارزی متری با هسیان f است، g=(g_1,g_2,g_3) و l_1 g=(l_1 g_1,l_1 g_2,l_1 g_3). در این مقاله نشان می‌دهیم تنها رویه‌های درجه دوم با نگاشت گاوس g صادق در شرط l_1 g=ag که در آن a یک ماتریس 3×3 است، کره‎‌ها و رویه‌های درجه دوم تخت‌ هستند. بعلاوه کره‌ها تنها رویه‌های درجه دوم فشرده با نگاشت گاوس g صادق در شرط l_1 g=ag برای یک ماتریس 3×3 مانند a هستند.