توسیع برخی از حلقه‌های خاص در امتداد یک ایده‌آل

فرض کنید r حلقه‌ای جابه‌جایی و نوتری باشد و i ایده‌آلی سره از rباشد. دآنا و فونتانا در [6] ساختار جدیدی از حلقه ها را معرفی کردند و آن‌را توسیع حلقه r در امتداد ایده‌آل i نامگذاری کردند. این ساختار جدید با نماد  r - iنمایش داده می‌شود. در این مقاله، با در نظر گرفتن همریختی حلقه‌ای  نشان می دهیم که اگر ، آن‌گاه و نیز اگر ، آن‌گاه  چنان موجود است که . به وسیله این نتیجه ثابت می کنیم که اگر  یک حلقه جامعاً کوهن-مکالی (جامعاً گورنشتاین) باشد و  نیز یک مدول جامعاً کوهن-مکالی ماکزیمال (جامعاً کانونیک) باشد، آن‌گاه  یک حلقه جامعاً کوهن-مکالی (جامعاً گورنشتاین) خواهد بود. همچنین حلقه های جامعاً شبه گورنشتاین را معرفی می کنیم و شرایطی را بررسی می کنیم که تحت آن جامعاً شبه گورنشتاین باشد. به علاوه نشان می دهیم که  یک حلقه تقریباً کوهن-مکالی است اگر و تنها اگر  تقریباً کوهن-مکالی باشد. و در نهایت ثابت می کنیم که اگر  یک حلقه تقریباً گورنشتاین باشد، آنگاه  نیز تقریباً گورنشتاین خواهد بود.