تمامیت در فضاهای متری احتمالاتی

ایده فضاهای متری احتمالاتی اولین بار توسط کارل منجر مطرح شد و اثبات شد که فضاهای متری احتمالاتی تعمیمی از فضاهای متریک می باشند. بنابراین در این مقاله بعضی ویژگی ها و قضایا و نتایج مهم که در فضاهای متریک برقرار می باشند را در فضاهای متری احتمالاتی اثبات می کنیم. در ابتدای مقاله، توابع توزیع فاصله از دیدگاه کارل منجر مطرح می شود. این دسته توابع در تعریف فضاهای متری احتمالاتی نقش اساسی دارند. سپس تابع دیراک به عنوان یک مثال مهم از توابع توزیع فاصله، مطرح شده است. بعد از آن روی مجموعه ی توابع توزیع فاصله ،متر سیبلای یا لوی معرفی شده استو لذا این مجموعه تبدیل به یک فضای متریک می شود.در ادامه فضاهای متری احتمالاتی از دیدگاه شرسنف تعریف می شود و چند مثال از جمله فضاهای متری احتمالاتی منجر مطرح می شود. همچنین توپولوژی قوی القا شده توسط توابع توزیع فاصله معرفی می شود و بعد از آن قطر احتمالاتی، مجموعه های کراندار، نیم کراندار، بی کران و تماماً کراندار احتمالاتی مطرح می شوند. در این مقاله اثبات می کنیم در هر فضای متری احتمالاتی، هر مجموعه ی تماماً کراندار احتمالاتی، کراندار احتمالاتی است. قضیه ی اشتراکی کانتور در فضاهای متری احتمالاتی تام، مطرح و اثبات می شود و نتایج آن را ارائه می کنیم. همچنین ثابت می کنیم در هر فضای متری احتمالاتی خاصیت بولزانووایراشتراس و هاینه-بورل هم ارز یکدیگرند.