نتایجی از تعمیم نامساوی بورخ و عمق جبر ریس و حلقه مدرج وابسته یک ایدآل نسبت به یک مدول کوهن - مکالی

فرض کنید (a,m) یک حلقه‌ موضعی کوهن - مکالی با هیات مانده‌ای نامتناهی k = a/ m، m یک a- مدول کوهن - مکالی و i ایدآلی از a باشد. فرض کنید ra (i ) و ga (i )، به ترتیب جبر ریس و حلقه‌ مدرج وابسته i و l(i ) نشان دهنده‌‌ی بسط تحلیلی i باشد. نامساوی بورخ بیان می‌کند که l(i ) + inf { depth a/ i^n :n≥1 } ≤ dima و تساوی زمانی برقرار است که g_a (i ) کوهن - مکالی باشد. بنابراین در این حالت می‌توان با محاسبه عمق حلقه مدرج وابسته i، بیان کرد depthg_a(i) = l (i) + inf { depth a/ i^n: n≥1}. ما در این مقاله نتایج را به حالت مدولی تعمیم می‌دهیم و نشان خواهیم داد برای عمق مدول مدرج وابسته i نسبت به m؛ یعنی depthg_m (i )، این تساوی در حالت مدولی حتی اگر g_m (i) لزوماً کوهن - مکالی نباشد نیز برقرار است و تعمیم نامساوی بورخ را ثابت خواهیم کرد. همچنین به محاسبه عمق جبر ریس و حلقه‌‌ مدرج وابسته به یک ایدآل نوعاً همبرش کامل نسبت به مدول m در یک حلقه‌ موضعی کوهن - مکالی خواهیم پرداخت و نتایجی را درباره‌‌ی ایدآل‌های با انحراف تحلیلی کوچکتر یا مساوی یک با عدد تقلیل حداکثر دو نسبت به مدول m به دست می‌آوریم.